GCD con algoritmo euclideo

[gnappo90]

trovare gcd tra $x^2-4x+3$ e $x^3-1$ in $Q[x]$ usando algoritmo euclideo

Soluzione

io so che $f=g*q1 +r1$
$g=r1*q2 +r2$ ecc ecc(formula 1.1)
per definizione l'ultimo resto non nullo è un dei gcd

come prima cosa scompongo i polinomi (avrei potuto anche dividere i 2 polinomi??)

f=$x^2-4x+3$ diventa $(x-3/2)(x-1)$

g=$x^3-1$ diventa $(x-1)(x^2+x+1)$

divido i due polinomi

$[(x-3/2)(x-1)]/[(x-1)(x^2+x+1)]$ ed ho $(x-3/2)/(x^2+x+1)$

questo è il mio quoziente....ora ditemi se è giusto se devo usare la formula 1.1 per trovare r1 e quindi $f=g*q1 +r1$ diventa $r1=f-g*q1$

quindi sarebbe $r1={[(x-3/2)*(x-1)]-{[(x-1)*(x^2+x+1)]*[(x-3/2)/(x^2+x+1)]}}$

ciò significa che il resto è 0.

Quindi????

[gnappo90]

mi sa che ho fatto una cosa non richeista...dovevo dividere i due polinomi e vedere l'ultimo resto non nullo...

sorry

[melli13]

Anche io vorrei sapere come si risolve questo esercizio.
Io ho usato l'algoritmo euclideo dall'inizio, ma mi esce:
$(x^(3)-1)=(x^(2)-4x+3)(x+4)+(16x-13)$
$(x^(2)-4x+3)=(16x-13)(1/16x-51/256)-663/256$
$(16x-13)=-663/256(-4096/663x+256/51)+0$
E quindi il MCD dovrebbe essere $-663/256$. ma può essere negativo..?e poi bo...mi sembra proprio che questo numero non divida per niente entrambi i polinomi...

[Gi81]

"gnappo90":f=$x^2-4x+3$ diventa $(x-3/2)(x-1)$

A me viene $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

"melli13":$(x^(3)-1)=(x^(2)-4x+3)(x+4)+(16x-13)$

Penso che ci sia un errore. Dovrebbe essere $(x^(3)-1)=(x^(2)-4x+3)(x+4)+(13x-13)$

[melli13]

Giustissimo....mi faccio sempre fregare da questi errori...! E quindi il MCD sarebbe 10..?
$(x^(3)-1)=(x^(2)-4x+3)(x+4)+(13x-13)$
$(x^(2)-4x+3)=(13x-13)(1/13x-3/13)+10$
$(13x-13)=10(13/10x-13/10)+0$

[Gi81]

Ehm, no

"melli13":$(x^(2)-4x+3)=(13x-13)(1/13x-3/13)+10$

Altro errore qui

[gnappo90]

"melli13":Giustissimo....mi faccio sempre fregare da questi errori...! E quindi il MCD sarebbe 10..?
$(x^(3)-1)=(x^(2)-4x+3)(x+4)+(13x-13)$
$(x^(2)-4x+3)=(13x-13)(1/13x-3/13)+10$
$(13x-13)=10(13/10x-13/10)+0$

no sarebbe $(x^(2)-4x+3)=(13x-13)(1/13x-3/13)+0$

quindi l'ultimo resto non nullo sarebbe $(13x-13)$

questo è il GCD..giusto?

[Gi81]

Sì, anche se di solito si indica il massimo comune divisore monico.
Quindi $g.c.d.(x^3-1,x^2-4x+3)=x-1$

[melli13]

Basta...mi arrendo...-.-'''