$G$ gruppo di ordine $110$ non abeliano
Ciao a tutti, vorrei un'opinione sul mio svolgimento di questo problema (degli ultimi due punti, anzi, riporto solo quelli).
Sia [tex]$G$[/tex] gruppo di ordine [tex]$110$[/tex] non abeliano.
i) Se vi è un solo elemento di ordine [tex]$2$[/tex], quanti sono gli elementi di ordine [tex]$5$[/tex] ?
ii) Se vi è un solo sottogruppo di ordine [tex]$5$[/tex], prova che vi è un elemento di ordine [tex]$55$[/tex].
Dai punti precedenti sappiamo che vi è un unico sottogruppo [tex]$K$[/tex] di ordine [tex]$11$[/tex] e un unico di ordine [tex]$55$[/tex].
Inoltre in seguito userò che
1)[tex]$C_{pq}\cong C_{p}\times C{q}$[/tex] con [tex]$gcd(p,q)=1$[/tex]
2)Se [tex]$G=PQ$[/tex] e [tex]$P\cap Q={\text{id}}$[/tex] allora, intendendo il prod. diretto, [tex]$P\times Q\cong PQ$[/tex] con $P$ e $Q$ normali in $G$.
i)
Essendoci un solo elemento do ordine [tex]$2$[/tex], il sottogruppo generato è normale, e lo chiamo [tex]$N$[/tex] ([tex]$|N|=2$[/tex]).
Ma anche [tex]$K$[/tex] è normale, e del resto banalmente [tex]$N\cap K={\text{id}}$[/tex] e [tex]$|NK|=22$[/tex] con [tex]$NK$[/tex] gruppo.
Per la normalità di entrambi i gruppi, vale
[tex]$NK\cong N\times K\cong C_{2}\times C_{11}\cong C_{22}$[/tex]
Si verifica che anche [tex]$NK\cong C_{22}$[/tex] è normale in [tex]$G$[/tex]
Quindi [tex]$NK$[/tex], che chiamo [tex]$M$[/tex], è cicliclo di ordine 22
Applicando il teorema, i 5-sylow possono essere $11$ o $1$. Se fosse per assurdo $1$, avrei che questo 5-sylow (diciamo $B$, è che ciclico) risulta normale, cioè posso eseguire il prodotto diretto, che risulta essere isomorfo a [tex]$C_{110}$[/tex] ma pure a
[tex]$MB$[/tex], il quale ha $110$ elementi cioè è [tex]$G$[/tex].
Avrei mostrato che $G$ è cicliclo, cioè abeliano, e questo contraddice le ipotesi.
Quindi ho $11$ 5-sylow e di conseguenza $45$ elementi di ordine $5$.
ii) Facilmente quel sottogruppo che chiamo [tex]$A$[/tex] è normale perché unico nel suo ordine (5), così come l'11 sylow, che chiamo [tex]$C$[/tex]
Quindi [tex]$AC$[/tex] è sottogruppo di ordine [tex]$55$[/tex], ed esso è isomorfo al prodotto diretto [tex]$A\times C$[/tex],
cioè a
[tex]$C_{5}\times C_{11}$[/tex] che è a sua volta [tex]$C_{55}$[/tex].
Quindi [tex]$AC$[/tex] è ciclico e contiene dunque un elemento di ordine $55$.
---
Sia eventuali segnalazioni di errori che osservazioni per uno svolgimento più rapido ed elegante sono graditissime.
Buona giornata, e grazie in anticipo.
Sia [tex]$G$[/tex] gruppo di ordine [tex]$110$[/tex] non abeliano.
i) Se vi è un solo elemento di ordine [tex]$2$[/tex], quanti sono gli elementi di ordine [tex]$5$[/tex] ?
ii) Se vi è un solo sottogruppo di ordine [tex]$5$[/tex], prova che vi è un elemento di ordine [tex]$55$[/tex].
Dai punti precedenti sappiamo che vi è un unico sottogruppo [tex]$K$[/tex] di ordine [tex]$11$[/tex] e un unico di ordine [tex]$55$[/tex].
Inoltre in seguito userò che
1)[tex]$C_{pq}\cong C_{p}\times C{q}$[/tex] con [tex]$gcd(p,q)=1$[/tex]
2)Se [tex]$G=PQ$[/tex] e [tex]$P\cap Q={\text{id}}$[/tex] allora, intendendo il prod. diretto, [tex]$P\times Q\cong PQ$[/tex] con $P$ e $Q$ normali in $G$.
i)
Essendoci un solo elemento do ordine [tex]$2$[/tex], il sottogruppo generato è normale, e lo chiamo [tex]$N$[/tex] ([tex]$|N|=2$[/tex]).
Ma anche [tex]$K$[/tex] è normale, e del resto banalmente [tex]$N\cap K={\text{id}}$[/tex] e [tex]$|NK|=22$[/tex] con [tex]$NK$[/tex] gruppo.
Per la normalità di entrambi i gruppi, vale
[tex]$NK\cong N\times K\cong C_{2}\times C_{11}\cong C_{22}$[/tex]
Si verifica che anche [tex]$NK\cong C_{22}$[/tex] è normale in [tex]$G$[/tex]
Quindi [tex]$NK$[/tex], che chiamo [tex]$M$[/tex], è cicliclo di ordine 22
Applicando il teorema, i 5-sylow possono essere $11$ o $1$. Se fosse per assurdo $1$, avrei che questo 5-sylow (diciamo $B$, è che ciclico) risulta normale, cioè posso eseguire il prodotto diretto, che risulta essere isomorfo a [tex]$C_{110}$[/tex] ma pure a
[tex]$MB$[/tex], il quale ha $110$ elementi cioè è [tex]$G$[/tex].
Avrei mostrato che $G$ è cicliclo, cioè abeliano, e questo contraddice le ipotesi.
Quindi ho $11$ 5-sylow e di conseguenza $45$ elementi di ordine $5$.
ii) Facilmente quel sottogruppo che chiamo [tex]$A$[/tex] è normale perché unico nel suo ordine (5), così come l'11 sylow, che chiamo [tex]$C$[/tex]
Quindi [tex]$AC$[/tex] è sottogruppo di ordine [tex]$55$[/tex], ed esso è isomorfo al prodotto diretto [tex]$A\times C$[/tex],
cioè a
[tex]$C_{5}\times C_{11}$[/tex] che è a sua volta [tex]$C_{55}$[/tex].
Quindi [tex]$AC$[/tex] è ciclico e contiene dunque un elemento di ordine $55$.
---
Sia eventuali segnalazioni di errori che osservazioni per uno svolgimento più rapido ed elegante sono graditissime.
Buona giornata, e grazie in anticipo.
Risposte
"Steven":Sarebbero 44.
Quindi ho $11$ 5-sylow e di conseguenza $45$ elementi di ordine $5$.
Il resto è giusto.
"Martino":
Sarebbero 44.
Ecco, come rovinare un esercizio sul più bello.
Ti ringrazio per la controllata, alla prossima
Vorrei chiedere alcune delucidazione se è possibile sul quesito posto da Steven, dato che mi sono imbattuto nello stesso esercizio!
Intanto non so come provare che vi è un unico sottogruppo di ordine 55!
Per il punto i) dopo aver verificato che esiste un sottogruppo normale di ordine 22
(e qui non capisco tale passaggio: Per la normalità di entrambi i gruppi, vale
$NK\cong N\times K\cong C_{2}\times C_{11}\cong C_{22}$
Si verifica che anche $NK\cong C_{22}$ è normale in $G$)
e dopo aver supposto per assurdo che ne esiste uno solo di ordine 5 (quindi sarebbe normale tale sottogruppo)
esegui il prodotto diretto, ma come si dimostra che è isomorfo a $C_{110}$ ?
Intanto non so come provare che vi è un unico sottogruppo di ordine 55!
Per il punto i) dopo aver verificato che esiste un sottogruppo normale di ordine 22
(e qui non capisco tale passaggio: Per la normalità di entrambi i gruppi, vale
$NK\cong N\times K\cong C_{2}\times C_{11}\cong C_{22}$
Si verifica che anche $NK\cong C_{22}$ è normale in $G$)
e dopo aver supposto per assurdo che ne esiste uno solo di ordine 5 (quindi sarebbe normale tale sottogruppo)
esegui il prodotto diretto, ma come si dimostra che è isomorfo a $C_{110}$ ?
Sento odor di Catania
L'unicità del sottogruppo di ordine $55$ puoi provarla supponendo $H,K$ di ordine $55$. Allora
$|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\nnK|}=\frac{55^2}{|H\nnK|}<=110$
Infatti gli elementi dell'insieme $HK$ non possono essere più di $110$, devono restare dentro al gruppo.
Da quella diseguaglianza, cosa puoi dire di $H\nnK$?
Per la seconda domanda, cosa di preciso non ti è chiaro?
Il fatto che $NK\congC_{22}$ o che sia normale?
Il fatto che il gruppo sia isomorfo al gruppo ciclico di ordine 110 segue poiché siamo arrivati a mostrare che
$G\congC_{22}\timesC_5$
Questo è isomorfo a $C_{110}$ perché vale il fatto generale che se ho $p,q$ primi tra loro, allora
$C_p\timesC_q\congC_{pq}$
Ciao!
L'unicità del sottogruppo di ordine $55$ puoi provarla supponendo $H,K$ di ordine $55$. Allora
$|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\nnK|}=\frac{55^2}{|H\nnK|}<=110$
Infatti gli elementi dell'insieme $HK$ non possono essere più di $110$, devono restare dentro al gruppo.
Da quella diseguaglianza, cosa puoi dire di $H\nnK$?
Per la seconda domanda, cosa di preciso non ti è chiaro?
Il fatto che $NK\congC_{22}$ o che sia normale?
Il fatto che il gruppo sia isomorfo al gruppo ciclico di ordine 110 segue poiché siamo arrivati a mostrare che
$G\congC_{22}\timesC_5$
Questo è isomorfo a $C_{110}$ perché vale il fatto generale che se ho $p,q$ primi tra loro, allora
$C_p\timesC_q\congC_{pq}$
Ciao!
Già proprio Catania! Ma come fai a saperlo?XD
L'ordine di $H∩K$ è uguale a $55$ quindi è unico!
Per il resto non mi erano chiare entrambe le cose di $NK$.
Però che è isomorfo a $C_{22}$ penso di averlo capito perchè è la stesso ragionamento di $G≅C22×C5$ mentre per quanto riguarda la normalità lo dovrei provare con la definzione no?
Edit: Ma il gruppo HK esiste poichè H e K sono normali(avendo la metà dell'ordine di G) no?
L'ordine di $H∩K$ è uguale a $55$ quindi è unico!
Per il resto non mi erano chiare entrambe le cose di $NK$.
Però che è isomorfo a $C_{22}$ penso di averlo capito perchè è la stesso ragionamento di $G≅C22×C5$ mentre per quanto riguarda la normalità lo dovrei provare con la definzione no?
Edit: Ma il gruppo HK esiste poichè H e K sono normali(avendo la metà dell'ordine di G) no?
Volevo chiederti un'altra cosa, se sapendo che G è abeliano come di fa a determinare quanti sono gli elementi che hanno come ordine un divisore d di 110?
Grazie in anticipo per entrambe le cose
Grazie in anticipo per entrambe le cose
Quello fu il mio esonero l'anno scorso.
L'ho ripreso recentemente per levarmi un paio di dubbi.
Sì.
Direi di sì.
Se prendi un generico $nk\inNK$, cioè $n\inN$ e $k\inK$ allora provi a coniugare e vedere se rimani sempre in $NK$.
$g^-1nkg$. Ora usando sia la normalità di $N$ che quella di $K$ dovresti arrivare. Dimmi se riesci.
Serve una precisazione. Avevo messo in corsivo appunto che $HK$ fosse un insieme proprio per questo.
$HK$ è in generale un sottoinsieme degli elementi del gruppo, e si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di $H$ con tutti quelli di $K$.
Ora, sicuramente sai che se uno tra $K$ e $H$ è normale (in questo caso tutti e due, tanto meglio), allora il sottoinsieme $HK$ è anche sottogruppo.
Tuttavia, la formula usata $|HK|=\frac{|H||K|}{|H\nnK|}$ vale sempre, e ti dà informazioni sul numero di elementi di $HK$ inteso come sottoinsieme (quindi il numero dei suoi elementi non può sforare quello degli elementi del gruppo, dovendo rimanere dentro).
A prescindere che sia sottogruppo o no.
Se hai $G$ abeliano di un certo ordine non puoi schedare subito l'ordine di ogni suo elementi.
Prendi ad esempio i due gruppi di ordine $4$, $C_4$ e il gruppo di Klein
${1,a,b,c \quad \text{t.c.}\quad a^2=b^2=c^2=1}$
Entrambi sono abeliani, ma $C_4$ ha elementi di ordine $4$, invece Klein ha solo elementi di ordine $2$.
Forse volevi dire ciclico? Ricordando l'esercizio mi pare che domandasse proprio quello.
L'ho ripreso recentemente per levarmi un paio di dubbi.
"efin_90":
Però che è isomorfo a $C_{22}$ penso di averlo capito perchè è la stesso ragionamento di $G≅C22×C5$
Sì.
"efin_90":
mentre per quanto riguarda la normalità lo dovrei provare con la definzione no?
Direi di sì.
Se prendi un generico $nk\inNK$, cioè $n\inN$ e $k\inK$ allora provi a coniugare e vedere se rimani sempre in $NK$.
$g^-1nkg$. Ora usando sia la normalità di $N$ che quella di $K$ dovresti arrivare. Dimmi se riesci.
"efin_90":
Ma il gruppo HK esiste poichè H e K sono normali(avendo la metà dell'ordine di G) no?
Serve una precisazione. Avevo messo in corsivo appunto che $HK$ fosse un insieme proprio per questo.
$HK$ è in generale un sottoinsieme degli elementi del gruppo, e si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di $H$ con tutti quelli di $K$.
Ora, sicuramente sai che se uno tra $K$ e $H$ è normale (in questo caso tutti e due, tanto meglio), allora il sottoinsieme $HK$ è anche sottogruppo.
Tuttavia, la formula usata $|HK|=\frac{|H||K|}{|H\nnK|}$ vale sempre, e ti dà informazioni sul numero di elementi di $HK$ inteso come sottoinsieme (quindi il numero dei suoi elementi non può sforare quello degli elementi del gruppo, dovendo rimanere dentro).
A prescindere che sia sottogruppo o no.
Volevo chiederti un'altra cosa, se sapendo che G è abeliano come di fa a determinare quanti sono gli elementi che hanno come ordine un divisore d di 110?
Se hai $G$ abeliano di un certo ordine non puoi schedare subito l'ordine di ogni suo elementi.
Prendi ad esempio i due gruppi di ordine $4$, $C_4$ e il gruppo di Klein
${1,a,b,c \quad \text{t.c.}\quad a^2=b^2=c^2=1}$
Entrambi sono abeliani, ma $C_4$ ha elementi di ordine $4$, invece Klein ha solo elementi di ordine $2$.
Forse volevi dire ciclico? Ricordando l'esercizio mi pare che domandasse proprio quello.
"Steven":
Quello fu il mio esonero l'anno scorso.
Allora sei un ex studente di SSC! No?
"Steven":
Se prendi un generico $nk\inNK$, cioè $n\inN$ e $k\inK$ allora provi a coniugare e vedere se rimani sempre in $NK$.
$g^-1nkg$. Ora usando sia la normalità di $N$ che quella di $K$ dovresti arrivare. Dimmi se riesci.
Mh ci sto provando però diciamo che mi spuntano un po troppe $g$ diverse.
"Steven":
Forse volevi dire ciclico? Ricordando l'esercizio mi pare che domandasse proprio quello.
Si è ciclico perchè lo dovevo dimostrare nel primo punto!
Comunque ti ringrazio ancora infinitamente per la tua disponibilità.
"efin_90":
Allora sei un ex studente di SSC! No?
Già. Sono così famoso?
"efin_90":
Mh ci sto provando però diciamo che mi spuntano un po troppe $g$ diverse.
Guarda, è semplice.
UN generico elemento di $NK$ è $nk$ con $n\inN$ e $k\inK$.
Devo mostrare che se coniugo mediante un qualsiasi $g\inG$ rimango in $NK$, cioè $g^(-1)nkg\inNK$
Ma allora essendo $K$ normale, ho che $g^(-1)kg\inK$ cioè $g^(-1)kg=\bar{k}$ cioè $kg=g\bar{k}$ per qualche $\bar{k}$ che esiste di sicuro.
Sostituendo
$g^(-1)ng\bar{k}$.
Ma d'altra parte $g^(-1)ng$ appartiene a $N$, visto che quell'elemento è un coniugato di $n$ e il sottogruppo è normale.
Quindi
$(g^(-1)ng)*\bar{k}\inNK$.
"efin_90":
[quote="Steven"] Forse volevi dire ciclico? Ricordando l'esercizio mi pare che domandasse proprio quello.
Si è ciclico perchè lo dovevo dimostrare nel primo punto!
[/quote]
In questo caso hai
$G\congC_(110)={1,a,a^2,...,a^(109)}$ e devi trovare l'ordine di ogni elemento.
Sai che l'ordine può essere $1$, $2$, $5$, $10$, $11$, $22$, $55$, $110$.
Si tratta, salvo l'uso di risultati che non mi vengono in mente, di fare un lavoretto noioso di conteggio.
Ad esempio quelli con ordine $110$ si calcola molto facilmente quanti sono.
Vedi se ti viene.
Ciao.
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