Funzioni tra insiemi (dimostrazioni)

[lobacevskij]

Ciao ragazzi

Sono alle prese con una dimostrazione lasciata come esercizio. Sia f: A->B, provare che:

$ f^-1 (B^c)=(f^-1 (B))^c $

Questo il mio tentativo di dimostrazione:

$ x in f^-1 (B^c) hArr f(x) in B^c hArr f(x) \notin B hArr x \notin f^-1 (B) hArr x in (f^-1 (B))^c $

Mi sembra che possa andare, che dite?

Questa relazione me ne ha "ispirate" altre due, però non ho trovato riscontri in merito:

1) $ f^-1 (\bigcap_{j=0}^nB_j^c)=(\bigcup_{j=0}^n f^-1(B_j))^c $

DIM: $ x in f^-1 (\bigcap_{j=0}^nB_j^c) hArr f(x) in \bigcap_{j=0}^nB_j^c hArr f(x) in (\bigcup_{j=0}^nB_j)^c hArr f(x) notin \bigcup_{j=0}^nB_j hArr forall j : f(x) notin B_j hArr forall j : x notin f^-1(B_j) hArr x notin \bigcup_{j=0}^n f^-1(B_j) hArr x in (\bigcup_{j=0}^n f^-1(B_j))^c $

2) $ f^-1 (\bigcup_{j=0}^nB_j^c)=(\bigcap_{j=0}^n f^-1(B_j))^c $

DIM: $ x in f^-1 (\bigcup_{j=0}^nB_j^c) hArr f(x) in \bigcup_{j=0}^nB_j^c hArr f(x) in (\bigcap_{j=0}^nB_j)^c hArr f(x) notin \bigcap_{j=0}^nB_j hArr EE j : f(x) notin B_j hArr EE j : x notin f^-1(B_j) hArr x notin \bigcap_{j=0}^n f^-1(B_j) hArr x in (\bigcap_{j=0}^n f^-1(B_j))^c $

[lobacevskij]

Proprio nessuno che mi possa confermare/confutare il mio ragionamento?

[marco2132k]

"lobacevskij":Proprio nessuno che mi possa confermare/confutare il mio ragionamento?

Perché ci sono troppe formule. Se avessi usato un linguaggio umano qualcuno ti avrebbe cagato.

Immagino che in 1) tu per \( B \) intendessi un generico \( X\subset B \), ché "\( B \)" è il codominio della tua funzione. Comunque mi pare che vada bene tutto, ma ho letto di sfuggita.

Sopra dico che, ad esempio, avresti potuto dimostrare 2) semplicemente osservando che \( f^{-1}\colon\mathop{\mathscr P}B\to\mathop{\mathscr P}A \) preserva le intersezioni (cioè, che \( f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right) = \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i) \)), e applicare poi 1).

[lobacevskij]

Innanzitutto, grazie per la risposta.

Troppe formule? Bah. Capisco si trattasse di controllare la correttezza di calcoli piuttosto lunghi, ma queste sono soltanto delle implicazioni. Purtroppo non ho ancora tanta dimestichezza con questi argomenti, quindi magari sono presenti implicazioni fin troppo evidenti che si potrebbero "compattare".

Si, un sottoinsieme del codominio, altrimenti non avrebbe senso il suo complementare, giusto?

Ciò detto, interessante l'idea per dimostrare 2)

[lobacevskij]

PS: comunque è la prima volta che sento in un forum di matematica qualcuno che si "lamenta" per troppo formalismo.

[axpgn]

Peraltro detto da marco2132k è paradossale