Funzioni iniettive e suriettive
Chiedo aiuto per il seguente esercizio. Grazie 
Siano A= {4,5,6,} e B= {7,8,9}
i) stabilire la cardinalità di Y={f: B -> A : f(9)=4}
ii) elencare le funzioni f: B -> A con f € Y e f suriettiva; analoga domanda con f iniettiva
iii) Quante sono le corrispondenze biunivoche definite in B e a valori in A?
Siano A= {4,5,6,} e B= {7,8,9}
i) stabilire la cardinalità di Y={f: B -> A : f(9)=4}
ii) elencare le funzioni f: B -> A con f € Y e f suriettiva; analoga domanda con f iniettiva
iii) Quante sono le corrispondenze biunivoche definite in B e a valori in A?
Risposte
Dovresti iniziare con il dare un tuo contributo, che ne dici 
Mi sembra giusto...
Allora io ho ragionato così.
Poiché una coppia (9-4) è fissata, è come se i due insiemi fossero diventati entrambi di due elementi ciascuno, perciò direi che la cardinalità di Y = 5 (la coppia 9-4 più altre 4)
Le funzioni che si creano mi sembrano tutte iniettive e tutte suriettive, perciò anche tutte biunivoche.
Le coppie sono: {9-4, 7-5, 8-5, 7-6, 8-6}.
Attendo smentite
Allora io ho ragionato così.
Poiché una coppia (9-4) è fissata, è come se i due insiemi fossero diventati entrambi di due elementi ciascuno, perciò direi che la cardinalità di Y = 5 (la coppia 9-4 più altre 4)
Le funzioni che si creano mi sembrano tutte iniettive e tutte suriettive, perciò anche tutte biunivoche.
Le coppie sono: {9-4, 7-5, 8-5, 7-6, 8-6}.
Attendo smentite
"tinex":
Poiché una coppia (9-4) è fissata, è come se i due insiemi fossero diventati entrambi di due elementi ciascuno
Qui sbagli. Puoi sempre considerare una funzione [tex]$f$[/tex] tale che [tex]$f(B) = \{4\}$[/tex]...
quindi devo solo fissare 9, ma posso "tenere in gioco" il 4?
Avrei allora: {9-4, 7-4, 7-5, 7-6, 8-4, 8-5, 8-6, }, quindi la cardinalità di Y è 7
Però adesso che lo rivedo mi sembra tutto diverso.
L'unica b che ha una sola immagine a è 9-4, perciò è l'unica iniettiva
Poiché ogni elemento di A è immagine di almeno un elemento di B, sono tutte suriettive
E l'unica corrispondenza biunivoca è ancora la coppia 9-4, che è sia iniettiva, che suriettiva.
A voi l'ardua sentenza
Avrei allora: {9-4, 7-4, 7-5, 7-6, 8-4, 8-5, 8-6, }, quindi la cardinalità di Y è 7
Però adesso che lo rivedo mi sembra tutto diverso.
L'unica b che ha una sola immagine a è 9-4, perciò è l'unica iniettiva
Poiché ogni elemento di A è immagine di almeno un elemento di B, sono tutte suriettive
E l'unica corrispondenza biunivoca è ancora la coppia 9-4, che è sia iniettiva, che suriettiva.
A voi l'ardua sentenza
Sbagli a ragionare sulle coppie. E' vero che una funzione può essere pensata come un sottoinsieme del prodotto cartesiano, ma tu devi contare le funzioni che hanno come dominio [tex]$B$[/tex] e codominio [tex]$A$[/tex] e tali che [tex]$f(9) = 4$[/tex].
Per vederlo chiaramente scrivi in colonna gli elementi di [tex]$B$[/tex] e nella colonna a fianco gli elementi di [tex]$A$[/tex]. Ad ognuno dei [tex]$3$[/tex] elementi della colonna di sinistra (in cui hai posizionato gli elementi di [tex]$B$[/tex]) devi associare uno e un solo elemento della colonna a destra, tenendo conto che l'immagine di [tex]$9$[/tex] è già fissata. Quali sono le combinazioni possibili?
1) Tutti gli elementi vengono mandati in [tex]$4$[/tex].
2) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 6$[/tex].
3) etc...
Quante sono?
Per vederlo chiaramente scrivi in colonna gli elementi di [tex]$B$[/tex] e nella colonna a fianco gli elementi di [tex]$A$[/tex]. Ad ognuno dei [tex]$3$[/tex] elementi della colonna di sinistra (in cui hai posizionato gli elementi di [tex]$B$[/tex]) devi associare uno e un solo elemento della colonna a destra, tenendo conto che l'immagine di [tex]$9$[/tex] è già fissata. Quali sono le combinazioni possibili?
1) Tutti gli elementi vengono mandati in [tex]$4$[/tex].
2) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 6$[/tex].
3) etc...
Quante sono?
ok allora
1) Tutti gli elementi vengono mandati in [tex]$4$[/tex].
2) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 6$[/tex].
3) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 6 , f(7) = 5$[/tex].
4) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 6 , f(7) = 6$[/tex].
5) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 5$[/tex].
La card di Y=5
Le iniettive sono:
[tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 6$[/tex], [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 6 , f(7) = 5$[/tex]
che sono anche tutte le suriettive e quindi le biunivoche
Passo
1) Tutti gli elementi vengono mandati in [tex]$4$[/tex].
2) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 6$[/tex].
3) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 6 , f(7) = 5$[/tex].
4) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 6 , f(7) = 6$[/tex].
5) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 5$[/tex].
La card di Y=5
Le iniettive sono:
[tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 6$[/tex], [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 6 , f(7) = 5$[/tex]
che sono anche tutte le suriettive e quindi le biunivoche
Passo
Mi sembra che così vada bene.
Grazie per la disponibilità e la competenza, Seneca.
"tinex":
ok allora
1) Tutti gli elementi vengono mandati in [tex]$4$[/tex].
2) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 6$[/tex].
3) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 6 , f(7) = 5$[/tex].
4) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 6 , f(7) = 6$[/tex].
5) [tex]$f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 5$[/tex].
La card di Y=5
Per questa parte non sono d'accordo, mi pare che manchino
6) $f(9) = 4 , f(8) = 5 , f(7) = 4$
7) $f(9) = 4 , f(8) = 4 , f(7) = 5$
8) $f(9) = 4 , f(8) = 4 , f(7) = 6$
9) $f(9) = 4 , f(8) = 6 , f(7) = 4$
Mentre sono d'accordo sulle funzioni iniettive.
In effetti la cardinalità di $Y$ dovrebbe essere 9; però la definizione sopra riportata io la trovo un pò ambigua... nel senso che
$Y$ è definito come $Y={f:B->A | f(9)=4}$, ma non potrebbe essere che $Y={4}$ ???
Io avrei definito $Y={f:B->A | f(b)=a , AAb in B, AAa in A}$ così sarei sicuro che chiede tutte le combinazioni tra gli elementi di $A$ e gli
elementi di $B$
$Y$ è definito come $Y={f:B->A | f(9)=4}$, ma non potrebbe essere che $Y={4}$ ???
Io avrei definito $Y={f:B->A | f(b)=a , AAb in B, AAa in A}$ così sarei sicuro che chiede tutte le combinazioni tra gli elementi di $A$ e gli
elementi di $B$
No, non è ambigua. Si capisce chiaramente che [tex]$Y$[/tex] è un insieme di funzioni e precisamente quelle che mandano [tex]$9$[/tex] in [tex]$4$[/tex].
Comunque è vero. Ha ragione Amelia.
Comunque è vero. Ha ragione Amelia.
Non so perché, ma non ho ricevuto la mail che mi comunicava il seguito di questa discussione.
Ci sono tornata per conto mio, perché in effetti mi erano venuti dei dubbi... e ho letto il contributo di Amelia.
Grazie, in effetti adesso torna anche a me.
Ci sono tornata per conto mio, perché in effetti mi erano venuti dei dubbi... e ho letto il contributo di Amelia.
Grazie, in effetti adesso torna anche a me.
Posso approfottare ancora di voi e chiedervi un riscontro per questo esercizio? Grazie
Date le corrispondenze [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] da N in N tali che [tex]f(n) = n^3 - 8[/tex] e [tex]g(n) = n^3+8[/tex]
1. Stabilire se [tex]f[/tex] è una funzione
2. Stabilire se [tex]g[/tex] è una funzione iniettiva
3. Stabilire se [tex]g[/tex] è una funzione suriettiva
Risposte
1. Poiché siamo in N, [tex]n^3 - 8[/tex] non può essere inferiore a 0, pertanto [tex]n[/tex] non può essere né 0, né 1, avendo escluso due numeri di N possiamo dire che [tex]f[/tex] non è una funzione.
2. [tex]g[/tex] è iniettiva in quanto ogni risultato di [tex]n^3+8[/tex] al variare di [tex]n[/tex] avrà sempre un solo valore in N.
3. [tex]g[/tex] non è suriettiva in quanto il risultato di [tex]n^3+8[/tex] sarà sempre uguale o maggiore di 8, questo vuol dire che sono esclusi i numeri da 0 a 7.
Date le corrispondenze [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] da N in N tali che [tex]f(n) = n^3 - 8[/tex] e [tex]g(n) = n^3+8[/tex]
1. Stabilire se [tex]f[/tex] è una funzione
2. Stabilire se [tex]g[/tex] è una funzione iniettiva
3. Stabilire se [tex]g[/tex] è una funzione suriettiva
Risposte
1. Poiché siamo in N, [tex]n^3 - 8[/tex] non può essere inferiore a 0, pertanto [tex]n[/tex] non può essere né 0, né 1, avendo escluso due numeri di N possiamo dire che [tex]f[/tex] non è una funzione.
2. [tex]g[/tex] è iniettiva in quanto ogni risultato di [tex]n^3+8[/tex] al variare di [tex]n[/tex] avrà sempre un solo valore in N.
3. [tex]g[/tex] non è suriettiva in quanto il risultato di [tex]n^3+8[/tex] sarà sempre uguale o maggiore di 8, questo vuol dire che sono esclusi i numeri da 0 a 7.
A me sembra che vada bene. Il punto 2. potresti giustificarlo considerando il fatto che [tex]$g$[/tex] è strettamente monotona.
Grazie
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