Funzioni iniettive e suriettive

[MissFoxy394]

Preparando l'esame di Matematica Discreta mi sono imbattuta in questo esercizio:

$ f(x)={ ( x^2 ldots x<0 ),( -x ldots x>=0 ):} $

è iniettiva e/o suriettiva ?

Per prima cosa ho disegnato il grafico e graficamente ho intuito che è sia iniettiva (da una parte è una parabola, ma dall'altra una retta), sia suriettiva ("copre" tutto l'asse y).

I miei dubbi sono sul metodo analitico.
Iniettiva:

$ f(x_1) = f(x_2) rarr x_1^2 = x_2^2rarr x_1=+-x_2 $ prendo però solo quando $ x < 0 $ quindi viene: $ x_1 = - (-x_2) rarr x_1=x_2 $
(stesso ragionamento per $ x >= 0 $ )
quindi è iniettiva.

Suriettiva:
Prendendo un valore arbitrario $ y = 1 rarr 1 = x^2rarr x=+-1 $ ma $ x <0 $ quindi prendo solo $ x = -1 $ .
Stesso ragionamento con $ y = -1 rarr -1=-x rarr x =1$
quindi è suriettiva.


Mi scuso se alcuni passaggi sono ridondanti o comunque avrei potuto saltarli... vorrei solo essere sicura di svolgere bene nel dettagli l'esercizio.

[algibro]

Presumo, ma è importante saperlo, che la funzione sia così definita $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
A questo punto per vedere se la funzione è suriettiva occorre verificare se $\forall y \in \mathbb{R} \exists x \in \mathbb{R} : f(x)=y$
Quindi direi, e sottolineo il condizionale, che da $f(x)=x^2$ abbiamo $x=\pm \sqrt{y}$ che ha senso solo per $y \geq 0$, quindi è suriettiva solo sul codominio $\mathbb{R^+}$.
Invece, da $f(x)=-x$ abbiamo $x=-y$ che è chiaramente suriettiva in tutto $\mathbb{R}$
Direi che ciò è sufficiente per dire che $f(x)$ è suriettiva, ma attendiamo qualcuno più esperto

[MissFoxy394]

oddio scusami tanto, sono un'idiota...
la funzione è in Z

$ f: Z rarr Z $

è giusta comunque?

[G.D.5]

Sa la tua \( f \) è da \( \mathbb{Z} \) in \( \mathbb{Z} \), allora essa è iniettiva ma non è suriettiva.