Funzioni iniettiva/suriettiva

[smartmouse]

Salve, sto cercando di capire come si fa un esercizio del genere descritto in oggetto. Prima però voglio chiedervi una cosa: come arrivo a trovare se x = y nella seguente equazione?


$x^2 + 3x - 10 = y^2 + 3y - 10$

$x^2 + 3x = y^2 + 3y$

$x\(x + 3\) = y\(y+3\)$

$\frac{x}{\(x+3\)^{-1}} = \frac{y}{\(y+3\)^{-1}}$

$\frac{x+3}{x^{-1}} = \frac{y+3}{y^{-1}}$

$\frac{x+3}{x^{-1}} - \frac{y+3}{y^{-1}} = 0$

$\frac{\(x+3\)y^{-1} - \(y+3\)x^{-1}}{x^{-1}y^{-1}} = 0$

$\(x+3\)y^{-1} - \(y+3\)x^{-1} = 0$


E adesso??? Come si procede?
Se continuo a svolgerlo torno all'espressione iniziale!

[smartmouse]

Qualcuno mi aiuti!

[gundamrx91-votailprof]

Mi trovo in difficoltà nel "vedere" la funzione.... quali sono il dominio e il codominio?

[Gi81]

Direi che la funzione è $f(x) =x^2+3x-10$
Ora, se $f: RR->RR$ è abbastanza immediato notare che la funzione non è iniettiva nè suriettiva

[smartmouse]

No, la funzione è:

$f : x \in QQ \Rightarrow x^2 + 3x - 10 \in QQ$

per la quale bisogna determinare:

i) $f(\{-5, -3, 0, frac{1}{2}, frac{3}[2}, 2\})$

ii) $f^{-1}(\{-10, 0, frac{2}{3}, 4, 8\})$

e poi stabilire se f è iniettiva e suriettiva.

[gundamrx91-votailprof]

Ok, hai calcolato il valore della funzione per i valori dati? E' hai determinato la funzione inversa? Inoltre qual'è la condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia iniettiva e/o suriettiva?

[smartmouse]

Ok, hai calcolato il valore della funzione per i valori dati?

Si, ottengo:

$\(0,-10,-10,-\frac{33}{4},-\frac{13}{4},0 \)$

E' hai determinato la funzione inversa?

Come si fa?
Ho provato a porre l'equzione di partenza uguale a ciascuno dei valori di $\(f^{-1}\)$ ma riesco a trovare un paio di numeri perchè li vedo dai valori ottenuti prima, ma per gli altri come si fa? O meglio, in generale come si determinano?

Inoltre qual'è la condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia iniettiva e/o suriettiva?

E' iniettiva se ad ogni elemento del codominio corrisponde massimo un elemento del dominio; è suriettiva quando il codominio contiene soltanto elementi che sono immagine del dominio...

[gundamrx91-votailprof]

Quelle sono le definizioni di funzione iniettiva e suriettiva, che formalizzate sono:

funzione iniettiva $AAa_1,a_2 in A , a_1 != a_2 => f(a_1) != f(a_2)$
funzione suriettiva $AAb in B , EEa in A | b=f(a)$

invece condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia iniettiva è che ammetta inversa sinistra, ossia:

$EEg : B -> A$ tale che $g circ f = 1_a$

e condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia suriettiva è che ammetta inversa destra, ossia:

$EEg: B -> A$ tale che $f circ g = 1_b$

Per la funzione inversa hai che se $y=f(x) => x=f(y)$

[smartmouse]

"smartmouse":la funzione è:

$f : x \in QQ \Rightarrow x^2 + 3x - 10 \in QQ$

per la quale bisogna determinare:

i) $f(\{-5, -3, 0, frac{1}{2}, frac{3}[2}, 2\})$

ii) $f^{-1}(\{-10, 0, frac{2}{3}, 4, 8\})$

e poi stabilire se f è iniettiva e suriettiva.

"GundamRX91":Ok, hai calcolato il valore della funzione per i valori dati? E' hai determinato la funzione inversa?

Si, eccole:


$f(x) = \{0, -10, -frac{33}{4}, -frac{13}{4}\}$

$f^{-1}(x) = \{0, -3, -5, 2\}$


Ora devo stabilire se è iniettiva, ovvero che f(x) = f(y) e che quindi x=y e procedo in questo modo (come mostrato nel primo post):

$x^2 + 3x - 10 = y^2 + 3y - 10$

$x^2 + 3x = y^2 + 3y$

$x\(x + 3\) = y\(y+3\)$

$\frac{x}{\(x+3\)^{-1}} = \frac{y}{\(y+3\)^{-1}}$

$\frac{x+3}{x^{-1}} = \frac{y+3}{y^{-1}}$

$\frac{x+3}{x^{-1}} - \frac{y+3}{y^{-1}} = 0$

$\frac{\(x+3\)y^{-1} - \(y+3\)x^{-1}}{x^{-1}y^{-1}} = 0$

$\(x+3\)y^{-1} - \(y+3\)x^{-1} = 0$

Ma non riesco ad arrivare x=y... come si fa?



PS: Scusate il leggero ritardo nel rispondere! Ho ripreso da dove avevo lasciato soltanto in questo periodo perchè sono stato occupato per lavoro.

Grazie a chi vorrà aiutarmi!