Funzioni iniettiva/suriettiva
Buonasera ho problemi ad dimostrare l'iniettività e la surriettività potete aiutarmi posto di seguito l'esercizio:
$f : X \in P ( Z ) \Rightarrow X \cap { 3 } \in P ( N )$
$ g : X \in P ( Z ) \Rightarrow X \cap { 3 } \in P ( Z )$
si dica se è o non è ben definita come applicazione e, nel caso lo sia, se è iniettiva, suriettiva, biettiva, calcolando in quest’ultimo caso l’applicazione inversa.
$---------------------------$
per quando riguarda f non è ben definita. Ma g invece è ben definita ora calcolo la suriettivià:
$\AA y \in P(Z) (EE x \in P(Z): y= X \cap {3}$
Ma non so come andare avanti con il contro-esempio.Per l'iniettiva ho che:
$\AA x,y \in P(Z) (X\cap {3} = Y \ cap{3} \Rightarrow x=y)$
Non riesco ad andare avanti con il controesempi potete aiutarmi
Grazie mille
$f : X \in P ( Z ) \Rightarrow X \cap { 3 } \in P ( N )$
$ g : X \in P ( Z ) \Rightarrow X \cap { 3 } \in P ( Z )$
si dica se è o non è ben definita come applicazione e, nel caso lo sia, se è iniettiva, suriettiva, biettiva, calcolando in quest’ultimo caso l’applicazione inversa.
$---------------------------$
per quando riguarda f non è ben definita. Ma g invece è ben definita ora calcolo la suriettivià:
$\AA y \in P(Z) (EE x \in P(Z): y= X \cap {3}$
Ma non so come andare avanti con il contro-esempio.Per l'iniettiva ho che:
$\AA x,y \in P(Z) (X\cap {3} = Y \ cap{3} \Rightarrow x=y)$
Non riesco ad andare avanti con il controesempi potete aiutarmi
Grazie mille
Risposte
Basta riflettere su come può essere fatto $g(X)$ per capire cosa non va.
"gugo82":
Basta riflettere su come può essere fatto $g(X)$ per capire cosa non va.
Per l’inettivita:
$ X={0,1}$
$Y={2,3}$
Da ciò x è diverso da Y ed ho inoltre che:
${0,1}\cap {3} \ne {2,3}\cap{3}$
Quindi non è iniettiva
Giusto?
No.
"gugo82":
No.
Perché?Potresti aiutarmi?
"sara09":
[quote="gugo82"]No.
Perché?[/quote]
Perché non è quella la definizione.
Stai studiando Algebra da mesi, dovresti capirlo da te ormai...
"sara09":
Potresti aiutarmi?
L'ho già fatto.
Com'è fatto l'insieme $g(X)$?
"gugo82":
[quote="sara09"][quote="gugo82"]No.
Perché?[/quote]
Perché non è quella la definizione.
Stai studiando Algebra da mesi, dovresti capirlo da te ormai...
"sara09":
Potresti aiutarmi?
L'ho già fatto.
Com'è fatto l'insieme $g(X)$?[/quote]
Ma la definizione è:
f è iniettiva se è solo se $\AA x,y \in A (f(x)= f(y) <—>x=y)$
Oppure:
f è iniettiva se è solo se $\AA x,y\in A(x!=y <—> f(x)!=f(y))$
Forse ho scritto male volevo dire che se considero
$ X={0,1}$
$Y={2,3}$
Da ciò x è diverso da Y e ciò lo si ha se è solo se:
${0,1}\cap {3} \ne {2,3}\cap{3}$
Quindi è iniettiva
g(X) e una parte dell’insieme delle parti di $P(Z)$
"sara09":
[quote="gugo82"]
Perché non è quella la definizione.
Stai studiando Algebra da mesi, dovresti capirlo da te ormai...
[quote="sara09"]Potresti aiutarmi?
L'ho già fatto.
Com'è fatto l'insieme $g(X)$?[/quote]
Ma la definizione è:
f è iniettiva se è solo se $\AA x,y \in A (f(x)= f(y) <—>x=y)$
Oppure:
f è iniettiva se è solo se $\AA x,y\in A(x!=y <—> f(x)!=f(y))$
Forse ho scritto male volevo dire che se considero
$ X={0,1}$
$Y={2,3}$
Da ciò x è diverso da Y e ciò lo si ha se è solo se:
${0,1}\cap {3} \ne {2,3}\cap{3}$
Quindi è iniettiva[/quote]
No.
Hai seguito corsi per almeno un anno intero ed ancora non sai cosa significano/come si gestiscono i quantificatori... Mi sa che c'è un grosso problema di fondo e dovresti porti la questione se stai davvero studiando o se stai solo imparando nozioni a memoria.
"sara09":
g(X) e una parte dell’insieme delle parti di $P(Z)$
E grazie... Ma com'è fatta?
Tanto per capirci, quanti elementi può avere?
Scusa ma quali quantificatori? Quelli nella definizione che ho messo sono corretti
"sara09":
Scusa ma quali quantificatori? Quelli nella definizione che ho messo sono corretti
Certo, quelli sì, sono giusti.
Ma non capisci cosa vuol dire $AA$, altrimenti avresti già capito da tempo dove fallisce il tuo ragionamento.
Per questo motivo ho scritto:
"gugo82":
Mi sa che c'è un grosso problema di fondo e dovresti porti la questione se stai davvero studiando o se stai solo imparando nozioni a memoria.
"gugo82":
[quote="sara09"]Scusa ma quali quantificatori? Quelli nella definizione che ho messo sono corretti
Certo, quelli sì, sono giusti.
Ma non capisci cosa vuol dire $AA$, altrimenti avresti già capito da tempo dove fallisce il tuo ragionamento.
Per questo motivo ho scritto:[/quote]
Ma so che $AA$ non è un preciso insieme c’è ho perso X è Y in quel modo per fare il contro esempio
"sara09":
[quote="gugo82"][quote="sara09"]Scusa ma quali quantificatori? Quelli nella definizione che ho messo sono corretti
Certo, quelli sì, sono giusti.
Ma non capisci cosa vuol dire $AA$, altrimenti avresti già capito da tempo dove fallisce il tuo ragionamento.
Per questo motivo ho scritto:[/quote]
Ma so che $AA$ non è un preciso insieme c’è ho perso X è Y in quel modo per fare il contro esempio[/quote]
Quella roba lì non è un controesempio (tutto attaccato, è una parola composta) a nulla.
Ti rinnovo l'invito a ragionare su com'è fatto $g(X)$.
P.S.: Per favore cerca di controllare gli errori di ortografia; puoi usare "Anteprima" prima di inviare il messaggio.
Va bene grazie
"sara09":
$f : X \in P ( Z ) \Rightarrow X \cap { 3 } \in P ( N )$
per quando riguarda f non è ben definita.
Perché no?
Comunque do ragione a gugo, nelle tue domande non si capisce se stai mandando tutto a memoria o è la prima volta in vita tua che leggi qualcosa di matematica, la risposta al quesito in questione è intuitiva se hai capito cosa significa funzione iniettiva e suriettiva...
Te lo risolvo io, iniettiva non può essere perché {1} è diverso da {2} ma tutti e due hanno immagine l'insieme vuoto.
Suriettiva non lo è, perché l'insieme {1} appartiene alle parti di Z ma non è immagine di alcun elemento di g(X).
In pratica la funzione che hai manda insiemi o nell'insieme vuoto o in {3}.
Per quanto riguarda la prima funzione non capisco perché non dovrebbe essere ben definita, f e g sono "uguali" (metto tra virgolette perché ad essere pignoli non lo sono) nel senso che hanno stesso dominio e stessa immagine.
Una funzione è ben definita quando il modo in cui la definisci non lascia spazio ad interpretazioni.
Ad esempio se prendi la funzione da Q a Q definita in questo modo p/d - - > p+d non è ben definita, perché 1/2 = 2/4 ma 3 è diverso da 6.
Te lo risolvo io, iniettiva non può essere perché {1} è diverso da {2} ma tutti e due hanno immagine l'insieme vuoto.
Suriettiva non lo è, perché l'insieme {1} appartiene alle parti di Z ma non è immagine di alcun elemento di g(X).
In pratica la funzione che hai manda insiemi o nell'insieme vuoto o in {3}.
Per quanto riguarda la prima funzione non capisco perché non dovrebbe essere ben definita, f e g sono "uguali" (metto tra virgolette perché ad essere pignoli non lo sono) nel senso che hanno stesso dominio e stessa immagine.
Una funzione è ben definita quando il modo in cui la definisci non lascia spazio ad interpretazioni.
Ad esempio se prendi la funzione da Q a Q definita in questo modo p/d - - > p+d non è ben definita, perché 1/2 = 2/4 ma 3 è diverso da 6.
"Settevoltesette":
Ad esempio se prendi la funzione da Q a Q definita in questo modo p/d - - > p+d non è ben definita, perché 1/2 = 2/4 ma 3 è diverso da 6.
Dipende come definisci \( \mathbb{Q} \), con questa definizione di \( \mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} : a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* , \gcd(a,b)=1 \} \) allora è ben definita la tua applicazione poiché \(2/4 \not\in \mathbb{Q} \), ma \( 1/2 \in \mathbb{Q} \).
edit:
E formalmente \( \mathbb{Q} \) è dato come quoziente di \( (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^*)/\sim \) dove \( \sim \) è la relazione di equivalenza \( (a,b) \sim (a',b') \Leftrightarrow ab' = a'b \). Dunque con la scrittura \( \frac{a}{b} \) in realtà s'intende la classe di equivalenza di \( (a,b) \) per la relazione \( \sim \). Pertanto definito \( \mathbb{Q} \) come l'insieme dei rappresentanti delle classi di equivalenza di \((a,b)\) la tua applicazione è ben definita per ogni scelta del rappresentante della classe \( (a,b) \). Ma è un applicazione differente se cambi il rappresentante.
"3m0o":Sei sicuro che si possa fare (mantenendo le operazioni)?
definito Q come l'insieme dei rappresentanti delle classi di equivalenza di (a,b)
Abbastanza, la somma e il prodotto non dipendono dalla scelta del rappresentante.
Se \( \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \) e \( \frac{c}{d} = \frac{c'}{d'} \) allora
\[ ab'=a'b \wedge cd' = c'd \]
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+cb}{bd} = \frac{a'd'+c'b'}{b'd'} = \frac{a'}{b'} + \frac{c'}{d'} \]
\[ \Leftrightarrow (ad+bc)b'd' = (a'd'+b'c')bd \]
\[ \Leftrightarrow adb'd' + bcb'd' = a'd'bd+c'b'bd \]
\[ \Leftrightarrow ab'dd' + cd'bb' = a'bd'd + cd b'b \]
Il prodotto si fa in modo analogo.
Se \( \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \) e \( \frac{c}{d} = \frac{c'}{d'} \) allora
\[ ab'=a'b \wedge cd' = c'd \]
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+cb}{bd} = \frac{a'd'+c'b'}{b'd'} = \frac{a'}{b'} + \frac{c'}{d'} \]
\[ \Leftrightarrow (ad+bc)b'd' = (a'd'+b'c')bd \]
\[ \Leftrightarrow adb'd' + bcb'd' = a'd'bd+c'b'bd \]
\[ \Leftrightarrow ab'dd' + cd'bb' = a'bd'd + cd b'b \]
Il prodotto si fa in modo analogo.
Allora non ho capito che cosa intendevi. Quello dimostra che le operazioni \( {{+},\,{\cdot}}\colon Q(R)\times Q(R)\to Q(R) \) del campo di frazioni dell'anello \( R \) sono ben definite. Se tu scegli un unico rappresentante da ogni classe di \( Q(R) \), come definisci le operazioni di somma e prodotto?
In altre parole non mi è chiaro se abbia senso definire un'operazione di prodotto sull'insieme dei tuoi rappresentanti scelti come
\[ (a,b)*(c,d) = \text{il rappresentante che ho scelto per la classe \( \frac a b\cdot\frac c d \) di \( Q(R) \)}
\] dove \( (a,b) \) e \( (c,d) \) sono i rappresentanti che ho scelto per \( \frac a b \) e \( \frac c d \) di \( Q(R) \).
Edit. Ok sì ha senso ahah.
In altre parole non mi è chiaro se abbia senso definire un'operazione di prodotto sull'insieme dei tuoi rappresentanti scelti come
\[ (a,b)*(c,d) = \text{il rappresentante che ho scelto per la classe \( \frac a b\cdot\frac c d \) di \( Q(R) \)}
\] dove \( (a,b) \) e \( (c,d) \) sono i rappresentanti che ho scelto per \( \frac a b \) e \( \frac c d \) di \( Q(R) \).
Edit. Ok sì ha senso ahah.
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