Funzioni
Salve devo rispondere alle seguenti domande:
$a.$ Se $g\circ f$ è iniettiva $\Rightarrow f$ è iniettiva?
$b.$ Se $g\circ f$ è iniettiva $\Rightarrow g$ è iniettiva?
$c.$ Se $g\circ f$ è suriettiva $\Rightarrow f$ è suriettiva?
$d.$ Se $g\circ f$ è suriettiva $\Rightarrow g$ è suriettiva?
Le mie risposte sono:
$a.$ $Falso$
$b.$ $Vero$
$c.$ $Falso$
$d.$ $Vero$.
E' corretto?
$a.$ Se $g\circ f$ è iniettiva $\Rightarrow f$ è iniettiva?
$b.$ Se $g\circ f$ è iniettiva $\Rightarrow g$ è iniettiva?
$c.$ Se $g\circ f$ è suriettiva $\Rightarrow f$ è suriettiva?
$d.$ Se $g\circ f$ è suriettiva $\Rightarrow g$ è suriettiva?
Le mie risposte sono:
$a.$ $Falso$
$b.$ $Vero$
$c.$ $Falso$
$d.$ $Vero$.
E' corretto?
Risposte
visto che non ti ha risposto nessuno e non ci sono stati interventi nemmeno per chiarire la questione, dico qualcosa io:
secondo me, hai invertito le prime due risposte.
però, quello che conta in questo tipo di domande è il dominio delle due funzioni e della funzione composta: potresti provare a trovare dei controesempi: per la domanda b. (su cui i nostri risultati sono in disaccordo) basta prendere due elementi distinti del dominio della g, di cui uno appartiene all'immagine della f ed un altro no, che abbiano la stessa immagine mediante la g.
probabilmente sulla a. potresti anche avere ragione tu, ed in quel caso si può trovare un opportuno controesempio (io ho pensato che basterebbe prendere due elementi del dominio di f che hanno la stessa immagine per la f, che però non appartiene al dominio della g).
mi viene il sospetto che le prime tre siano false, la quarta invece dovrebbe essere vera.
un controesempio per la c. potrebbe essere costruito a partire da un elemento del dominio della g che non appartiene all'immagine della f che avrà immagine coincidente con l'immagine di un altro elemento appartenente all'immagine della f.
per la d. penso che non si riusciranno a trovare controesempi.
secondo me, hai invertito le prime due risposte.
però, quello che conta in questo tipo di domande è il dominio delle due funzioni e della funzione composta: potresti provare a trovare dei controesempi: per la domanda b. (su cui i nostri risultati sono in disaccordo) basta prendere due elementi distinti del dominio della g, di cui uno appartiene all'immagine della f ed un altro no, che abbiano la stessa immagine mediante la g.
probabilmente sulla a. potresti anche avere ragione tu, ed in quel caso si può trovare un opportuno controesempio (io ho pensato che basterebbe prendere due elementi del dominio di f che hanno la stessa immagine per la f, che però non appartiene al dominio della g).
mi viene il sospetto che le prime tre siano false, la quarta invece dovrebbe essere vera.
un controesempio per la c. potrebbe essere costruito a partire da un elemento del dominio della g che non appartiene all'immagine della f che avrà immagine coincidente con l'immagine di un altro elemento appartenente all'immagine della f.
per la d. penso che non si riusciranno a trovare controesempi.
Dovresti esplicitare il tuo ragionamento per capire dove hai sbagliato.
Sia \(g\circ f\colon A\to C\) iniettiva. Supponiamo per assurdo che \(f\colon A\to B\) non lo sia, allora esistono \(\displaystyle x,y\in A \) tali che \(\displaystyle f(x) = f(y) = b \), ma allora \(\displaystyle (g\circ f)(x) = (g\circ f)(y) = g(b) \). Avendo raggiunto un assurdo si ha che \(\displaystyle f \) deve essere iniettiva.
Al contrario per (b) basta trovare un controesempio. Un controesempio minimale è dato da \(\displaystyle A = \{ a \} \), \(\displaystyle B = \{ b , b' \} \) e \(\displaystyle C = \{ c \} \) con le funzioni definite da \(\displaystyle f(a) = g(b) = g(b') = c \).
Sulle ultime due hai ragione, ma dovresti motivarlo.
@adaBTTLS : In genere si suppone che il dominio della \(\displaystyle g \) contenga l'immagine della \(\displaystyle f \) affinché si possa avere \(g\circ f\colon A\to C\) ben definita.
Sia \(g\circ f\colon A\to C\) iniettiva. Supponiamo per assurdo che \(f\colon A\to B\) non lo sia, allora esistono \(\displaystyle x,y\in A \) tali che \(\displaystyle f(x) = f(y) = b \), ma allora \(\displaystyle (g\circ f)(x) = (g\circ f)(y) = g(b) \). Avendo raggiunto un assurdo si ha che \(\displaystyle f \) deve essere iniettiva.
Al contrario per (b) basta trovare un controesempio. Un controesempio minimale è dato da \(\displaystyle A = \{ a \} \), \(\displaystyle B = \{ b , b' \} \) e \(\displaystyle C = \{ c \} \) con le funzioni definite da \(\displaystyle f(a) = g(b) = g(b') = c \).
Sulle ultime due hai ragione, ma dovresti motivarlo.
@adaBTTLS : In genere si suppone che il dominio della \(\displaystyle g \) contenga l'immagine della \(\displaystyle f \) affinché si possa avere \(g\circ f\colon A\to C\) ben definita.
@ vict85
sì, grazie, lo supponevo quando ho pensato a come aveva risposto Gil-Galad, e quindi ho detto che secondo me aveva invertito le prime due risposte, ma qualche dubbio mi era venuto; ti ringrazio della precisazione.
sì, grazie, lo supponevo quando ho pensato a come aveva risposto Gil-Galad, e quindi ho detto che secondo me aveva invertito le prime due risposte, ma qualche dubbio mi era venuto; ti ringrazio della precisazione.
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