Funzione inversa

[qwertyuio1]

Ciao, mi è sorto un dubbio...
Siano $f:X->Y$ e $g:Y->X$.
Se $g°f=id_X$, allora è vero anche che $f°g=id_Y$?

[G.D.5]

Ma [tex]g[/tex] è l'inversa di [tex]f[/tex]?
Se la risposta è sì, allora sì; se no, dipende.

[Fioravante Patrone1]

"qwertyuio":Ciao, mi è sorto un dubbio...
Siano $f:X->Y$ e $g:Y->X$.
Se $g°f=id_X$, allora è vero anche che $f°g=id_Y$?

Il solito vizio (mica solo tuo, magari!), non provare a fare un esempio...

[tex]X = \{ 1 \}[/tex], [tex]Y = \{ 2, 3 \}[/tex].
[tex]f(1) = 2[/tex]
[tex]g(2) = 1[/tex]
[tex]g(3) = 1[/tex]

Che te ne pare?

@WiZaRd:
penso che la questione posta da qwertyuio fosse proprio se si poteva omettere una delle due condizioni che vengono usate per dire che una funzione è invertibile.

[Martino]

Un altro esempio è:

[tex]f:\mathbb{Z} \to \mathbb{R}[/tex] l'inclusione,

[tex]g:\mathbb{R} \to \mathbb{Z}[/tex] la parte intera ("floor").

[qwertyuio1]

Ok, quindi non si può omettere una delle due richieste. Grazie!
E se $X=Y$? Non è più così facile trovare dei controesempi

[dissonance]

Devi cercare tra le funzioni $X \to X$ con $X$ infinito. Infatti l'esistenza di una $g$ tale che $g circ f="id"$ (inversa sinistra di $f$) equivale all'ingettività di $f$, e similmente l'esistenza di una inversa destra di $f$ equivale (ma ci vuole l'assioma della scelta) alla surgettività di $f$. Ora le funzioni $f: X\toX$ con $X$ finito sono ingettive se e solo se esse sono surgettive e quindi automaticamente invertibili.

[Lord K]

"dissonance":... e similmente l'esistenza di una inversa destra di $f$ equivale (ma ci vuole l'assioma della scelta) alla surgettività di $f$.

Puoi anche evitare l'assioma della scelt, basta prendere una definizione differente (ma equivalente) di surgettività

[Martino]

"qwertyuio":E se $X=Y$? Non è più così facile trovare dei controesempi

Come puoi dedurre da quanto ha detto dissonance, se per esempio prendi [tex]f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/tex] definita da [tex]f(n)=2n[/tex] allora sicuramente esiste una g che realizza un controesempio. Per esempio la funzione [tex]g:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}[/tex] che manda [tex]n[/tex] nella parte intera ("floor") di [tex]n/2[/tex] funziona. Ma naturalmente esistono infinite [tex]g[/tex] che funzionano.

[qwertyuio1]

Grazie a tutti, non sapevo che l'esistenza dell'inversa sinistra/destra fosse equivalente all'iniettività/suriettività!

[dissonance]

Attenzione: non dire "la" inversa destra/sinistra, ma "una" inversa destra/sinistra. Non hai unicità.