Funzione ed immagine di una funzione
Salve a tutti,
quasi sicuramente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma questo perchè non sono riuscito a prnedere gli appunti bene a lezione, il libro è molto stringato, e non riesco a capire bene questa cosa.
Ovvero una funzione F ha un dominio A e un codominio o immagine B e possiamo scriverla come:
$F:A\rightarrowB$
Il che significa che a degli elementi di A saranno associati degli elementi di B secondo una relazione detta proprio funzionale o apllicazione.
Saltiamo tutta la parte che dice che l'applicazione può essere surgettiva, ingettiva o bigettiva o meglio tralasicamola, visto che questa cosa è, secondo la lezione della professoressa, la premessa per introdurre la surgettività.
Qui annota tutto anche come un
$IMf ={f(a1),f(a2)..}$
Ove ai sono gli elementi di A, e B (ovvero l'immagine di F) è definita tramite F.
Ora mi perdo quando introduce i termini Immagine "Diretta" e "Reciproca".
Gli appunti dicono:
Si definisce immaginee diretta di X mediante F l'insieme che viene denotato con
$F(X)={F(x)| x in X}subeB$
poi dice
Se X = A quindi $F(A)={F(x)|x in A} = IMF$
E conclude dicendo che si chaima immagine dell'apllicazione F.
Non riesco a capire il significarto di tutto questo.
quasi sicuramente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma questo perchè non sono riuscito a prnedere gli appunti bene a lezione, il libro è molto stringato, e non riesco a capire bene questa cosa.
Ovvero una funzione F ha un dominio A e un codominio o immagine B e possiamo scriverla come:
$F:A\rightarrowB$
Il che significa che a degli elementi di A saranno associati degli elementi di B secondo una relazione detta proprio funzionale o apllicazione.
Saltiamo tutta la parte che dice che l'applicazione può essere surgettiva, ingettiva o bigettiva o meglio tralasicamola, visto che questa cosa è, secondo la lezione della professoressa, la premessa per introdurre la surgettività.
Qui annota tutto anche come un
$IMf ={f(a1),f(a2)..}$
Ove ai sono gli elementi di A, e B (ovvero l'immagine di F) è definita tramite F.
Ora mi perdo quando introduce i termini Immagine "Diretta" e "Reciproca".
Gli appunti dicono:
Si definisce immaginee diretta di X mediante F l'insieme che viene denotato con
$F(X)={F(x)| x in X}subeB$
poi dice
Se X = A quindi $F(A)={F(x)|x in A} = IMF$
E conclude dicendo che si chaima immagine dell'apllicazione F.
Non riesco a capire il significarto di tutto questo.
Risposte
Può essere che dica che F(a) produce l'immagine di F ?
Leggendo anche qui:
http://biomat.dimi.uniud.it/presenta/p04immag.pdf
Non è che si riferisce al fatto che noi possiamo "calcolare" l'immagine di solo alcuni elementi di A, e quindi sarebbe un immagine "parziale" (non saprei come chiamarla) mentre se calcoliamo l'immagine di tutti gli elementi di A avremo l'immagine "diretta" di a in b? non so prorpio come spiegarmeli questi termini diretta e reciproca.
http://biomat.dimi.uniud.it/presenta/p04immag.pdf
Non è che si riferisce al fatto che noi possiamo "calcolare" l'immagine di solo alcuni elementi di A, e quindi sarebbe un immagine "parziale" (non saprei come chiamarla) mentre se calcoliamo l'immagine di tutti gli elementi di A avremo l'immagine "diretta" di a in b? non so prorpio come spiegarmeli questi termini diretta e reciproca.
Premesso che è tutta questione di nomenclatura, questo è il guaio di definire tautologicamente le applicazioni come "leggi" o "regole" che fanno questo o fanno quello.
Dati gli insiemi $A,B$ si dice applicazione di $A$ in $B$ e la si denota con $f : A to B$ ogni terna ordinata $(A,B,\mathcal{F})$ ove $\mathcal{F} \subseteq A \times B$ è una relazione funzionale, i.e. una relazione per la quale $\forall a \in A, \exists ! b \in B : (a,b) \in \mathcal{F}$: se $(a,b) \in \mathcal{F}$, si pone $b=f(a)$. L'insieme $A$ si chiama dominio e l'insieme $B$ si chiama codominio; la parte $Y$ di $B$ (i.e. $Y \subseteq B$) che contiene gli elementi $b \in B$ che sono immagine di qualche elemento $x$ di $A$ si chiama immagine dell'applicazione $f$: i.e. $"Im" \ f := {b \in B | \exists a \in A : b = f(a)$, ovvero l'immagine dell'applicazione è l'insieme di tutti i trasformati. Data la parte $X$ di $A$ (i.e. $X \subseteq A$) si chiama immagine di $X$ per mezzo di $f$ la parte di $B$ contenete i trasformati degli $a \in X$: i.e. $"Im" \ X := {b \in B | \exists a \in X : b=f(a)}$. Se $X = A$ allora $"Im" \ X = "Im" \ A$. In ogni caso si parla di immagine diretta.
Data la parte $Y$ di $B$, si chiama immagine reciproca di $Y$ tramite $f$ (o anche fibra) la parte di $A$ i cui elementi hanno come trasformati gli elementi di $Y$: i.e. $f^{\leftarrow}(Y):={a \in A | f(a) \in Y}$. In particolare, se $Y$ è un singleton, si pone $f^{\leftarrow}(y)$ in luogo della precedenta notazione, se $Y={y}$.
Dati gli insiemi $A,B$ si dice applicazione di $A$ in $B$ e la si denota con $f : A to B$ ogni terna ordinata $(A,B,\mathcal{F})$ ove $\mathcal{F} \subseteq A \times B$ è una relazione funzionale, i.e. una relazione per la quale $\forall a \in A, \exists ! b \in B : (a,b) \in \mathcal{F}$: se $(a,b) \in \mathcal{F}$, si pone $b=f(a)$. L'insieme $A$ si chiama dominio e l'insieme $B$ si chiama codominio; la parte $Y$ di $B$ (i.e. $Y \subseteq B$) che contiene gli elementi $b \in B$ che sono immagine di qualche elemento $x$ di $A$ si chiama immagine dell'applicazione $f$: i.e. $"Im" \ f := {b \in B | \exists a \in A : b = f(a)$, ovvero l'immagine dell'applicazione è l'insieme di tutti i trasformati. Data la parte $X$ di $A$ (i.e. $X \subseteq A$) si chiama immagine di $X$ per mezzo di $f$ la parte di $B$ contenete i trasformati degli $a \in X$: i.e. $"Im" \ X := {b \in B | \exists a \in X : b=f(a)}$. Se $X = A$ allora $"Im" \ X = "Im" \ A$. In ogni caso si parla di immagine diretta.
Data la parte $Y$ di $B$, si chiama immagine reciproca di $Y$ tramite $f$ (o anche fibra) la parte di $A$ i cui elementi hanno come trasformati gli elementi di $Y$: i.e. $f^{\leftarrow}(Y):={a \in A | f(a) \in Y}$. In particolare, se $Y$ è un singleton, si pone $f^{\leftarrow}(y)$ in luogo della precedenta notazione, se $Y={y}$.
Si l'avevo letta questa definizione così, o diciamo simile, su wikipedia, ma non avendo ancora studiato i limiti (se non lievemente alle superiori tanti anni fa) la cosa non mi ha dato molto senso.
Rileggendo però vari appunti sparsi in giro mi pare di aver capito che ciò significa che se abbiamo due insiemi A e B, A lo poniamo come Dominio; B lo poniamo come codominio o immagini di B. Avremo anche F che ne stabilisce la relazione di A e B.
Ovvero F(a)=b dove $a in A$ e $b in B$
Quindi in quelle due formule di sopra dice che se prendiamo f(x) avremo come risultato solo una parte dell'insieme delle immagini B. Se invece X = A e quindi abbiamo f(x) potremo avere come risultato TUTTO l'insieme delle immagini B.
Giusto fin qui?
Mi sfugge ancora la notazione IMf. La si può usare per richiamare qualsiasi sottoinsieme delle immagini o solo per l'intero insieme?
Rileggendo però vari appunti sparsi in giro mi pare di aver capito che ciò significa che se abbiamo due insiemi A e B, A lo poniamo come Dominio; B lo poniamo come codominio o immagini di B. Avremo anche F che ne stabilisce la relazione di A e B.
Ovvero F(a)=b dove $a in A$ e $b in B$
Quindi in quelle due formule di sopra dice che se prendiamo f(x) avremo come risultato solo una parte dell'insieme delle immagini B. Se invece X = A e quindi abbiamo f(x) potremo avere come risultato TUTTO l'insieme delle immagini B.
Giusto fin qui?
Mi sfugge ancora la notazione IMf. La si può usare per richiamare qualsiasi sottoinsieme delle immagini o solo per l'intero insieme?
$B$ non si chiama immagine.
$B$ si chiama codominio.
Se chiami $B$ immagine, come puoi continuare a chiamare immagine l'insieme dei trasformati? Devi inventarti un altro nome: se la funzione non fosse suriettiva non avresti $B$ coincidente con l'immagine.
$B$ si chiama codominio.
Se chiami $B$ immagine, come puoi continuare a chiamare immagine l'insieme dei trasformati? Devi inventarti un altro nome: se la funzione non fosse suriettiva non avresti $B$ coincidente con l'immagine.
Quindi Codominio e immagine non sono la stessa cosa? ero sicuro che la professoressa avesse detto che l'insieme b si chiamava codominio o immagine di a.
Quindi B è un'altro insieme però non sempre tutti gli elementi di B sono immagini di A quindi magari l'immagine di A è un sottoinsieme di B? è questo che mi stai dicendo?
Quindi B è un'altro insieme però non sempre tutti gli elementi di B sono immagini di A quindi magari l'immagine di A è un sottoinsieme di B? è questo che mi stai dicendo?
Esatto.
Alcuni autori usano anche dire che codominio e immagine sono la stessa cosa, ma poi salta fuori il pastrocchio in cui cadi tu. Infatti, secondo quello che hai scritto, nel tuo corso avete chiamato immagine della funzione $f:A to B$ l'insieme $B$ e poi avete chiamato immagine della funzione anche l'insieme $"Im" \ f = {f(a_{1}), f(a_{2}, \ldots }$ ed è dunque evidente che usate lo stesso nome per indicare due insiemi che non necessariamente sono uguali. Questo di per se non è grave, ripeto, come ho detto in apertura del mio primo post nel presente topic, che trattasi di nomenclatura. La storia del diretta e reciproca è solo un aggettivo teso a sottolineare il fatto che per immagine diretta si intende l'insieme dei trasformati (e, quindi, una parte del codominio), quasi ad interpretare la freccia da $A$ a $B$ come un verso di percorrenza della "legge" che definisce l'applicazione, mentre con immagine reciproca si tende a sottolineare il fatto che si sta parlando degli elementi del dominio, o come mi piace dire, degli "antitrasformati".
Alcuni autori usano anche dire che codominio e immagine sono la stessa cosa, ma poi salta fuori il pastrocchio in cui cadi tu. Infatti, secondo quello che hai scritto, nel tuo corso avete chiamato immagine della funzione $f:A to B$ l'insieme $B$ e poi avete chiamato immagine della funzione anche l'insieme $"Im" \ f = {f(a_{1}), f(a_{2}, \ldots }$ ed è dunque evidente che usate lo stesso nome per indicare due insiemi che non necessariamente sono uguali. Questo di per se non è grave, ripeto, come ho detto in apertura del mio primo post nel presente topic, che trattasi di nomenclatura. La storia del diretta e reciproca è solo un aggettivo teso a sottolineare il fatto che per immagine diretta si intende l'insieme dei trasformati (e, quindi, una parte del codominio), quasi ad interpretare la freccia da $A$ a $B$ come un verso di percorrenza della "legge" che definisce l'applicazione, mentre con immagine reciproca si tende a sottolineare il fatto che si sta parlando degli elementi del dominio, o come mi piace dire, degli "antitrasformati".
Antitrasformati e trasformati mi piace come nomenclatura, per quel che può valere il mio parere.
Comunque può sembrare un problema sottile, quello esposto così, ma quando in una spiegazioni si utilizzano nomi "non ben descritti" e chi ti ascolta non ne sa nulla a riguardo gli incasini la vita.
Comunque può sembrare un problema sottile, quello esposto così, ma quando in una spiegazioni si utilizzano nomi "non ben descritti" e chi ti ascolta non ne sa nulla a riguardo gli incasini la vita.
So cose che capitano: non tutti usano le stesse notazioni e gli stessi nomi.
Il alcuni autori $A$ viene chiamato dominio o insieme di partenza, $B$ insieme di arrivo e il codominio è quella parte di $B$ che contiene i trasformati, i.e. l'immagine dell'applicazione nel senso di $"Im" f = {f(a_{1}),...}$.
Il alcuni autori $A$ viene chiamato dominio o insieme di partenza, $B$ insieme di arrivo e il codominio è quella parte di $B$ che contiene i trasformati, i.e. l'immagine dell'applicazione nel senso di $"Im" f = {f(a_{1}),...}$.
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