Funzione composta

[milos144]

Ho qualche perplessità su questa funzione composta: $b@a$.

Sia $S$ l'insieme dei numeri interi, $T$ l'insieme $SxS$, e sia $a:S->T$ definita da $ma=(m-1,1)$.
Sia $U=S$, e sia $b:T->U(=S)$ definita da $(m,n)b=m+n$

In base a quanto detto $((m,n)b)a=(m+n-1,1)$.

Fin qui ci dovremmo essere..ma quando provo a fare un esempio concreto, tipo:

dalla coppia $(2,-1)$ operando la funzione $b:T->U(=S)$ avrò: $m+n=2+(-1)$ e operando la funzione $a:S->T$ arriverò a $(2+(-1)-1,1)=(0,1)$

oppure dalla coppia $(3,-2)$ operando la funzione $b:T->U(=S)$ avrò: $m+n=3+(-2)$ e operando la funzione $a:S->T$ arriverò a $(3+(-2)-1,1)=(0,1)$

come faccio a stabilire in questa situazione se le due funzioni sono suriettive o iniettive ...e la stessa funzione composta!!?

[Kashaman]

Mi permetto di riscrivere le mappe con una notazione a me più familiare.
Se ho ben capito, hai $ a : \mathbb{Z} -> \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ , $\forall m \in \mathbb{Z} $$a(m)=(m-1,1)$
e $b : \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} ->\mathbb{Z}$ . $b(n,m)=n+m$ per ogni $(n,m) \in ZZ \times ZZ$.
Abbiamo che $b @ a : \mathbb{Z} -> \mathbb{Z}$

Se $m \in ZZ$ , $ m ->^a (m-1,1)->^b m-1+1=m$. In altre parole, osservi bene che $b°a=id_ZZ$, quindi la composta è bijettiva.

$a$ è iniettiva ma non suriettiva e lo provi con le definizioni. $b$ , invece , è suriettiva ma non iniettiva.
Infatti, se $z \in ZZ => $ posto $(z,0) => b(z,0)=z$. Non iniettiva perché, ad esempio $b(1,2)=3=b(2,1)$.

[milos144]

Scusami, ma per una questione di notazione per $id_z$ io intendo $a@b$ .Comunque tutto chiaro.

Ma se parlo di $b@a$ usando la mia notazione che corrisponde alla tua $a@b$ per intenderci, opera prima $b$ e poi $a$:

Se $(m, n ) in Z xZ$, $m,n→^b(m+n)→^a (m+n-1+1)$

Quindi $b$ rimane sempre suriettiva: $b(1,2)=3=(2,1)$

$a$ rimane sempre iniettiva: Se $m=3∈Z$ ,$ 3→^a(3−1,1)=(2,1)$

Come sarà a questo punto la funzione composta $b@a=(ZxZ)x(ZxZ)$ (dove opera prima $b$)? Per esempio l'immagine di $(2,1)$ per effetto di $b@a$ è $(2,1)$...mi viene da pensare che non hanno immagine le coppie $(0,3)$, $(1,2)$ Quindi non si tratta di una funzione né suriettiva né iniettiva :

[milos144]

Volevo un chiarimento per fissare le idee:

sia $ZZ$ l'insieme degli interi e

$a:ZZ->ZZxZZ $

$a:ZZxZZ->Z $

due funzioni definite nel seguente modo:

$a(m)=(m-1,1)$

$b(m,n)=(m + n)$

Adesso se parto da $b@a$ dove opera prima $a$ è corretto affermare che essendo $a$ una funzione

iniettiva allora $b@a=Id_(z)$ e quindi $b@a$ è iniettiva.

Se parto invece da $a@b$ dove opera prima $b$ è corretto affermare che non essendo $a$ una funzione suriettiva allora $a@b!=Id_(zxz)$ e quindi $a@b$ non è né iniettiva né suriettiva.