Funzione

[process11]

siano m,n numeri interi positivi. si consideri la funzione

$f: Z_ (mnZ )->Z_(mZ) x Z_(nZ)$ definita da $f[x]_(mn)=([x]_m,[x]_n)$

si mostri che
1) f è ben definita
2)si mostri che se il massimo comune divisore tra m ed n è 1, allora f è biettiva
3)se invece M.C.D(m,n) è diverso da 1, allora non è biettiva

mi potete far vedere cosa devo dimostrare e poi io me lo faccio???

ad esempio il punto 1...
devo dimostrare che se $([x]_m,[x]_n)=([y]_m,[y]_n)$ allora $f(x)=f(y)$????? e il secondo??

P.S. il primo punto come si fa senza avere una relazione di equivalenza data...prendo quella che voglio??

[perplesso1]

La butto lì... per il punto 1 credo che dovresti mostrare che la "funzione" f non dipende dai rappresentanti delle classi di equivalenza, quindi $ [x]_{mn}=[y]_{mn} \rightarrow x \equiv y (mod\ mn) \rightarrow x-y=kmn \rightarrow x \equiv y (mod\ m)\ e\ x \equiv y (mod\ n) \rightarrow ([x]_{m},[x]_{n}) = ([y]_{m},[y]_{n}) $ cioè $ f([x])=f([y]) $ e la funzione è ben posta.

[process11]

si ok mi piace...quale è la giustificazione per la terza freccia...è la definizione di congruenza???

ah poi un'altra cosa...dovrei dimostrare che se il massimo comume divisore tra m ed n è 1 allora f è biiettiva

la iniettività se non sbaglio è lo stesso ragionamento della funzione ben definita fatto all'incontrario....
per la suriettività che devo dimostrare???

[perplesso1]

"blabla":si ok mi piace...quale è la giustificazione per la terza freccia...è la definizione di congruenza???

Si perchè kmn è multiplo sia di n che di m

la iniettività se non sbaglio è lo stesso ragionamento della funzione ben definita fatto all'incontrario....

No quei passaggi non funzionano al contrario, in generale la funzione non è iniettiva, ma lo diventa se m ed n sono coprimi. Se il m.c.d. di m e n è 1 allora per l'identità di Bézout esistono $ u,v \in Z : um+vn=1 $. Ora possiamo dimostrare l'iniettività $ ([x]_{m} ,[x]_{n})=([y]_{m} ,[y]_{n}) \rightarrow x-y =km\ e\ x-y=hn \rightarrow vn(x-y)=kvmn\ e\ um(x-y)=humn $ E sommando $ (um+vn)(x-y)=(kv+hu)mn \rightarrow x-y=(kv+hu)mn \rightarrow [x]_{mn}=[y]_{mn} $
La surriettività segue dal fatto che f è un applicazione iniettiva fra due insiemi finiti che hanno lo stesso numero di elementi $ mn $ . Pertanto f è biettiva.

Spero di non aver sbagliato niente, ciao

[process11]

ok ho capito grazie ciao