Funtori \( \mathcal C^\mathrm{op}\to \mathcal D \) vs. funtori \( \mathcal C\to \mathcal D^\mathrm{op} \)

[marco2132k]

\( \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \)\( \newcommand{\op}{\mathcal{op}} \)Siano \( \cat C \), \( \cat D \) ed \( \cat E \) categorie, e siano
\[
\begin{aligned}
r^\prime\colon [\cat C,\cat D]&\to {[\cat C^\op,\cat D^\op]}^\op\\
s^{\prime\prime}\colon [\cat D^\op\to \cat E]&\to {[\cat D,\cat E^\op]}^\op
\end{aligned}
\] gli isomorfismi ovvi tra le categorie di funtori (non ho scritto chi sono \( r^{\prime\prime} \) e \( s^\prime \) ma è facile immaginarlo; non li ho scritti perché per la domanda che voglio fare non servono).

Facciamo quindi che io abbia due funtori
\[
\begin{aligned}
F\colon \cat C &\to \cat D\\
G\colon \cat D^\op &\to \cat E
\end{aligned}
\] e facciamo che io provi a comporli nei due modi possibili usando gli isomorfismi di cui sopra:
\[
G\circ r^\prime(F)\colon \cat C^\op\to \cat E,\qquad s^{\prime\prime}(G)\circ F\colon \cat C\to \cat E^\op\text{.}
\] Ora, se pongo
\[
t^{\prime\prime}\colon [\cat C^\op\to \cat E]\to {[\cat C,\cat E^\op]}^\op
\] pari al funtore ovvio ho che
\[
t^{\prime\prime}(G\circ r^\prime(F)) = s^{\prime\prime}(G)\circ F\text{.}
\]

A questo punto non so se ho una vera e propria domanda, ma volevo volevo più o meno chiedere se questo fatto è il risultato di una costruzione ad hoc oppure se c'è qualcosa di più generale (tipo, che ne so, un aggiunzione, anche se è un po' che non vedo queste cose e non mi ricordo niente ahah) che spiega il fenomeno.

[megas_archon]

C'è una costruzione che spiega il fenomeno, sì, e sta in un paper di Shulman del 2016 https://arxiv.org/pdf/1606.05058.pdf

Si chiamano "duality involutions", viene spiegato tutto abbastanza bene (as always with Shulman) nell'introduzione.

[marco2132k]

Ok, ho trovato anche questo http://user.math.uzh.ch/cattaneo/lorand.pdf che dovrebbe essere più leggibile. Thx, vedo se ci capisco qualcosa.