Funtori esatti a sinistra ed esatti, differenza?
Sono confuso dalle note di corso:
Lemma:
Per un \( R\)-modulo \(N\), il funtore \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) è left exact, che vuole dire (per definizione) che per ogni short exact sequence di \(R\)-moduli
\[ 0 \to L \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} K \to 0 \]
otteniamo una exact sequence applicando \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) alla short exact sequence qui sopra e cancellando lo \(0\)-modulo alla fine.
\[ \operatorname{Hom}_R(L, N) \xleftarrow{\operatorname{Hom}_R(\alpha, N)} \operatorname{Hom}_R(M, N) \xleftarrow{\operatorname{Hom}_R(\beta, N)} \operatorname{Hom}_R(K, N) \leftarrow 0 \]
Poi fa la dimostrazione e dopo dice:
Esempio: nfine diamo un esempio che dimostra che \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) non è un exact funtore.
Troviamo una short exact sequence tale che se ci applichiamo \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) non è exact sequence.
\[ 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{x \mapsto 2x} \mathbb{Z} \xrightarrow{ \mapsto x+2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \to 0 \]
applicando \(\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(-, \mathbb{Z}) \) a questa exact sequence otteniamo (grazie al lemma 4.2.2) la exact sequence
\[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \xleftarrow{x \mapsto 2x} \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \xleftarrow{\operatorname{Hom}_R(\beta, N)} 0= \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \leftarrow 0 \]
Ma la mappa a sinistra non è suriettiva, siccome le immagini sono \( 2\mathbb{Z} \), in altre parole la sequence non rimane exact una volta applicato \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(-, \mathbb{Z}) \)
Ora o non capisco cosa dice oppure mi dice applicando il funtore otteniamo la exact sequence e poi mi dice che la sequence non è exact se applichiamo quel medesimo funtore....
Lemma:
Per un \( R\)-modulo \(N\), il funtore \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) è left exact, che vuole dire (per definizione) che per ogni short exact sequence di \(R\)-moduli
\[ 0 \to L \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} K \to 0 \]
otteniamo una exact sequence applicando \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) alla short exact sequence qui sopra e cancellando lo \(0\)-modulo alla fine.
\[ \operatorname{Hom}_R(L, N) \xleftarrow{\operatorname{Hom}_R(\alpha, N)} \operatorname{Hom}_R(M, N) \xleftarrow{\operatorname{Hom}_R(\beta, N)} \operatorname{Hom}_R(K, N) \leftarrow 0 \]
Poi fa la dimostrazione e dopo dice:
Esempio: nfine diamo un esempio che dimostra che \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) non è un exact funtore.
Troviamo una short exact sequence tale che se ci applichiamo \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) non è exact sequence.
\[ 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{x \mapsto 2x} \mathbb{Z} \xrightarrow{ \mapsto x+2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \to 0 \]
applicando \(\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(-, \mathbb{Z}) \) a questa exact sequence otteniamo (grazie al lemma 4.2.2) la exact sequence
\[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \xleftarrow{x \mapsto 2x} \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \xleftarrow{\operatorname{Hom}_R(\beta, N)} 0= \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \leftarrow 0 \]
Ma la mappa a sinistra non è suriettiva, siccome le immagini sono \( 2\mathbb{Z} \), in altre parole la sequence non rimane exact una volta applicato \( \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(-, \mathbb{Z}) \)
Ora o non capisco cosa dice oppure mi dice applicando il funtore otteniamo la exact sequence e poi mi dice che la sequence non è exact se applichiamo quel medesimo funtore....
Risposte
Un funtore tra categorie additive è esatto a sinistra se data una successione esatta
\[ 0 \to A\to B\to C\to 0\]la successione
\[0\to FA\to FB\to FC\] è esatta; hom non è esatto anche a destra, perché non preserva, in generale, i conuclei, e quindi non manda successioni esatte in successioni esatte. Quello di
\[
0 \to \mathbb Z \overset{2\cdot}\to \mathbb Z \to \mathbb Z/2 \to 0
\]è un esempio di situazione in cui non succede.
\[ 0 \to A\to B\to C\to 0\]la successione
\[0\to FA\to FB\to FC\] è esatta; hom non è esatto anche a destra, perché non preserva, in generale, i conuclei, e quindi non manda successioni esatte in successioni esatte. Quello di
\[
0 \to \mathbb Z \overset{2\cdot}\to \mathbb Z \to \mathbb Z/2 \to 0
\]è un esempio di situazione in cui non succede.
"solaàl":
Un funtore tra categorie additive è esatto a sinistra se data una successione esatta
\[ 0 \to A\to B\to C\to 0\]la successione
\[0\to FA\to FB\to FC\] è esatta
Hom è controvariante quindi dovresti invertire le freccie.
Però lui mi dimostra che è esatto a sinistra
Sì, certo; più in generale un funtore è "esatto a sinistra" se commuta coi limiti finiti, ed esatto a destra se commuta coi colimiti finiti; se tieni conto della controvarianza di hom, ti viene quella condizione.
Per mostrare che hom non è esatto a destra, basta trovare una coppia \(\alpha,\beta\), in una ses come sopra tale che \(hom(\alpha,N)\) non è un epimorfismo. Ad esempio, la moltiplicazione per 2.
Per mostrare che hom non è esatto a destra, basta trovare una coppia \(\alpha,\beta\), in una ses come sopra tale che \(hom(\alpha,N)\) non è un epimorfismo. Ad esempio, la moltiplicazione per 2.
Dimostrazione del prof:
\( \operatorname{Hom}_R(\beta,N) \) è iniettivo:
Questo risultato è immediato poiché se \( \phi \in \operatorname{Hom}_R(K,N) \neq 0\) allora per definizione esiste \(x \in K \) tale che \( \phi(x) \neq 0 \). Siccome \( \beta \) è suriettiva, allora esiste \(y \in M \) tale che \( \beta(y) = x \). Allora
\[ \left( \operatorname{Hom}_R(\beta,N) (\phi) \right)(y) = \phi(\beta(y))=\phi(x) \neq 0 \]
Dunque per definizione abbiamo che \( \operatorname{Hom}_R(\beta,N) (\phi) \neq 0 \).
\(\operatorname{im} \operatorname{Hom}_R(\beta,N) \subseteq \ker \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \):
Questo è equivalente a dire che \( \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \circ \operatorname{Hom}_R(\beta,N) = 0 \). Però abbiamo che \( \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \circ \operatorname{Hom}_R(\beta,N) = \operatorname{Hom}_R(\beta \circ \alpha ,N) \) che è \(0 \) così come \( \beta \circ \alpha \).
\(\operatorname{im} \operatorname{Hom}_R(\beta,N) = \ker \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \):
Questo è dimostrato dalle seguenti equivalenze:
\[ \phi \in \ker \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \Leftrightarrow \alpha \circ \phi = 0 \Leftrightarrow \operatorname{im} \alpha \subseteq \ker \phi \Leftrightarrow \ker \beta \subseteq \ker \phi \Leftrightarrow \phi \in \operatorname{im} \operatorname{Hom}_R(\beta,N) \]
Dunque la sequenza è esatta.
\( \operatorname{Hom}_R(\beta,N) \) è iniettivo:
Questo risultato è immediato poiché se \( \phi \in \operatorname{Hom}_R(K,N) \neq 0\) allora per definizione esiste \(x \in K \) tale che \( \phi(x) \neq 0 \). Siccome \( \beta \) è suriettiva, allora esiste \(y \in M \) tale che \( \beta(y) = x \). Allora
\[ \left( \operatorname{Hom}_R(\beta,N) (\phi) \right)(y) = \phi(\beta(y))=\phi(x) \neq 0 \]
Dunque per definizione abbiamo che \( \operatorname{Hom}_R(\beta,N) (\phi) \neq 0 \).
\(\operatorname{im} \operatorname{Hom}_R(\beta,N) \subseteq \ker \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \):
Questo è equivalente a dire che \( \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \circ \operatorname{Hom}_R(\beta,N) = 0 \). Però abbiamo che \( \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \circ \operatorname{Hom}_R(\beta,N) = \operatorname{Hom}_R(\beta \circ \alpha ,N) \) che è \(0 \) così come \( \beta \circ \alpha \).
\(\operatorname{im} \operatorname{Hom}_R(\beta,N) = \ker \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \):
Questo è dimostrato dalle seguenti equivalenze:
\[ \phi \in \ker \operatorname{Hom}_R(\alpha,N) \Leftrightarrow \alpha \circ \phi = 0 \Leftrightarrow \operatorname{im} \alpha \subseteq \ker \phi \Leftrightarrow \ker \beta \subseteq \ker \phi \Leftrightarrow \phi \in \operatorname{im} \operatorname{Hom}_R(\beta,N) \]
Dunque la sequenza è esatta.
"solaàl":
"esatto a sinistra" se commuta coi limiti finiti, ed esatto a destra se commuta coi colimiti finiti; se tieni conto della controvarianza di hom, ti viene quella condizione.
Per mostrare che hom non è esatto a sinistra, basta trovare una coppia \(\alpha,\beta\), in una ses come sopra tale che \(hom(\alpha,N)\) non è un epimorfismo. Ad esempio, la moltiplicazione per 2.
1) Non so cosa sia un limite
2) Non so cosa sia un colimite
3) Non so cosa sia un epimorfismo
4) Non spiegarmeli ti prego (già devo imparare un sacco di cose, le imparerò a suo tempo)
Edit: per chiarirmi sul punto 4) non pensare che sia un modo per dire non mi interessa grazie, semplicemente quando si spiega qualcosa a qualcuno bisogna tener conto del suo livello di conoscenza, tu questo spesso non lo fai, non fraintende apprezzo che mi spieghi le cose, però vai spesso troppo oltre e dopo una spiegazione che può essere con l'esperienza e altre conoscenze molto semplice diventa totalmente oscura a qualcuno. Quindi ti chiedo gentilmente di "abbassarti" al mio livello e non di portarmi al tuo. Anche perché è solo cosi che si può far capire le cose a qualcuno.
Ad ogni modo, mi hai appena detto che non è esatto a sinistra e poi mi hai detto che è esatto a sinistra... non capisco...Infatti a questo
"3m0o":
Però lui mi dimostra che è esatto a sinistra
Tu rispondi così
"solaàl":
Sì, certo;
Poi dici
"solaàl":
Per mostrare che hom non è esatto a sinistra,
Dunque qui c'è qualcosa che si contraddice.
È esatto a sinsitra oppure no?
Perché mi dimostra un lemma e poi mi da un controesempio dello stesso lemma?
Quindi ti chiedo gentilmente di "abbassarti" al mio livello e non di portarmi al tuo.Non ne ho la minima intenzione.
Non spiegarmeli ti pregoNon preoccuparti, non ti dirò più nulla; buon lavoro.
Per mostrare che hom non è esatto a sinistra,Ovviamente volevo dire a destra; nella prima risposta c'è scritto "destra" dove deve.
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