Funtore Hom e oggetto proiettivo
Buon pomeriggio. Sto studiando teoria delle categorie per un progetto. Mi sono ritrovato davanti a questa difficoltà, banale, ma da cui non riesco ad uscire.
Io so che il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto a sinistra. Inoltre, per definizione, diremo che l'oggetto $Y$ è proiettivo se e solo se il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto, quindi se manda epimorfismi in epimorfismi. Di conseguenza, se Y è proiettivo ho che la sequenza esatta $0 -> A -> B -> C -> 0$ viene mandata in $0 -> Hom(Y,A) -> Hom(Y,B) -> Hom(Y,C) -> 0$, anch'essa esatta.
Io devo dimostrare che $Y$ è proiettivo se e solo se per ogni epimorfismo $g: B \to C$ e per ogni morfismo $\varphi: Y \to C$ deve esistere un orfismo $\psi: Y \to B$ tale che $\varphi = g \circ \psi$.
Se suppongo $Y$ proiettivo, ho la situazione esposta prima, con $g: B \to C$ e $g \circ$-$: Hom(Y,B) \to Hom(Y,C)$ entrambi epimorfismi (ossia, c'è cancellabili a destra). Come posso giungere all'asserto?
Io so che il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto a sinistra. Inoltre, per definizione, diremo che l'oggetto $Y$ è proiettivo se e solo se il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto, quindi se manda epimorfismi in epimorfismi. Di conseguenza, se Y è proiettivo ho che la sequenza esatta $0 -> A -> B -> C -> 0$ viene mandata in $0 -> Hom(Y,A) -> Hom(Y,B) -> Hom(Y,C) -> 0$, anch'essa esatta.
Io devo dimostrare che $Y$ è proiettivo se e solo se per ogni epimorfismo $g: B \to C$ e per ogni morfismo $\varphi: Y \to C$ deve esistere un orfismo $\psi: Y \to B$ tale che $\varphi = g \circ \psi$.
Se suppongo $Y$ proiettivo, ho la situazione esposta prima, con $g: B \to C$ e $g \circ$-$: Hom(Y,B) \to Hom(Y,C)$ entrambi epimorfismi (ossia, c'è cancellabili a destra). Come posso giungere all'asserto?
Risposte
La postcomposizione con g è un epi se e solo se vale la proprietà di lifting che enunci; semplicemente perché un oggetto è nell'immagine della postcomposizione se e solo se..
(ciò detto, dovresti precisare che categoria è quella dove vivono questi oggetti. Pre/abeliana?)
Sì, la categoria è abeliana.
So che mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma sono nuovo a questi argomenti.
Io so che $Im(g \circ$-$) = Ker(Coker(g \circ$-$))$. E quindi mi verrebbe da sfruttare questa uguaglianza (cosa che ho fatto) ma da cui non ricavo (o, meglio, non so ricavare) nulla...
So che mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma sono nuovo a questi argomenti.
Io so che $Im(g \circ$-$) = Ker(Coker(g \circ$-$))$. E quindi mi verrebbe da sfruttare questa uguaglianza (cosa che ho fatto) ma da cui non ricavo (o, meglio, non so ricavare) nulla...
\(g\circ \_\) è suriettiva se e solo se ogni \(u : Y \to C\) è della forma \(gv\) per qualche \(v : Y \to B\). La proprietà che, dato un epimorfismo $g$, ogni $u$ sia della forma $gv$ è esattamente quella che enunci.
Mi manca giusto un passaggio: come faccio a dire che la cancellabilità a destra (definizione di epimorfismo) implichi la suriettività "classica" (cioè ciò che hai scritto tu)? Io so che questo in generale non vale nella teoria delle categorie...
Infatti non ha senso che \(g\) sia suriettivo (ci sono cat abeliane che non sono concrete); io parlo della suriettività della funzione di postcomposizione con \(g\).
E' un trucco risalente a Yoneda e Freyd quello di ridurre una proprietà di morfismi astratti a una proprietà della "rappresentazione regolare" di quei morfismi, come funzione di pre- o post-composizione.
E' un trucco risalente a Yoneda e Freyd quello di ridurre una proprietà di morfismi astratti a una proprietà della "rappresentazione regolare" di quei morfismi, come funzione di pre- o post-composizione.
Quindi, quando affermo che $g \circ$- é un epimorfismo, non devo sfruttare il fatto che sia cancellabile a destra ma posso sfruttare il fatto che per ogni elemento nell’immagine esiste un elemento del dominio tale che... giusto?
Beh, la definizione di epimorfismo in Set è quella, sì.
Quindi sfruttiamo anche il fatto che $Hom(Y,X)$ siano insiemi, cioè che siamo con categorie piccole... giusto?
No: una categoria è piccola quando ha un insieme di oggetti (leggermente più stringente è che \(\coprod_{X,Y : \mathcal{C}_o}\hom(X,Y)\) sia un insieme). Una categoria dove gli hom sono insiemi è semplicemente... una categoria, al livello di complessità cui probabilmente sei.
Qual è "il progetto"? Algebra omologica?
Qual è "il progetto"? Algebra omologica?
Ok! Grazie mille per il tuo aiuto!
Sì, si tratta di algebra omologica. Non avendo mai studiato teoria delle categorie, sto cogliendo l'occasione per farlo!
Sì, si tratta di algebra omologica. Non avendo mai studiato teoria delle categorie, sto cogliendo l'occasione per farlo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo