Funtore che preserva i limiti
Se un funtore $G:\mathcal{A} -> \mathcal{Set}$ (essendo $\mathcal{Set}$ la categoria degli insiemi) possiede una freccia $G$-universale $u: X -> GA$ con $X \ne \emptyset$ allora $G$ preserva i limiti.
Svolgimento
Sia $(N,p_D)_{D \in \mathcal{D}}$ il limite di un funtore $F:\mathcal{D -> A}$. Devo mostrare che $(GN, Gp_D)_{D \in \mathcal{D}}$ è il limite del funtore composto $G \circ F$. Faccio il solito disegnino
Per ogni freccia $d: D -> E$ in $\mathcal{D}$ risulta $Fd \circ p_D = p_E$ e passando tutto al funtore $G$ si ottiene $GFd \circ Gp_D = Gp_E$ ovvero $(GN, Gp_D)_{D \in \mathcal{D}}$ è un cono su $GF$. Bisogna mostrare che questo cono ha la proprietà universale. Sia $(T,q_D)_{D \in \mathcal{D}}$ un altro cono su $GF$, sia $t \in T$ e sia $c_t: X -> T$ l'applicazione costante definita da $c_t(x)=t$ per ogni $x \in X$. Poichè $u$ è $G$-universale esiste un'unica freccia $m_{t,D}:A -> FD$ tale che $Gm_{t,D} \circ u = q_D \circ c_t$. Analogamente esiste un'unica freccia $m_{t,E}: A -> FE$ tale che $Gm_{t,E} \circ u = q_E \circ c_t$. Ma risulta anche
$G(Fd \circ m_{t,D}) \circ u = GFd \circ Gm_{t,D} \circ u =$
$= GFd \circ q_D \circ c_t = q_E \circ c_t$
quindi per l'unicità $Fd \circ m_{t,D} = m_{t,E}$ ovvero $(A, m_{t,D})_{D \in \mathcal{D}}$ è un cono su $F$ ed esiste un'unica freccia $h_t: A -> N$ tale che $p_D \circ h_t = m_{t,D}$ per ogni oggetto $D$ di $\mathcal{D}$.
Ora abbiamo tutto quello che ci serve per fattorizzare $T$ attraverso $GN$. Scelto un elemento $x \in X$ qualsiasi, definiamo una funzione
$k: t \in T -> (Gh_t \circ u)(x) \in GN$
verifichiamo come si compone con le proiezioni
$(Gp_D \circ k)(t) = (Gp_D \circ Gh_t \circ u)(x) = (G(p_D \circ h_t) \circ u)(x) =$
$= (Gm_{t,D} \circ u)(x) = (q_D \circ c_t)(x) = q_D(c_t(x)) = q_D(t)$
ovvero $Gp_D \circ k = q_D$ per ogni oggetto $D$ di $\mathcal{D}$. Pertanto $(GN, Gp_D)_{D \in \mathcal{D}}$ è un limite di $GF$ e quindi $G$ preserva i limiti.
Svolgimento
Sia $(N,p_D)_{D \in \mathcal{D}}$ il limite di un funtore $F:\mathcal{D -> A}$. Devo mostrare che $(GN, Gp_D)_{D \in \mathcal{D}}$ è il limite del funtore composto $G \circ F$. Faccio il solito disegnino
Per ogni freccia $d: D -> E$ in $\mathcal{D}$ risulta $Fd \circ p_D = p_E$ e passando tutto al funtore $G$ si ottiene $GFd \circ Gp_D = Gp_E$ ovvero $(GN, Gp_D)_{D \in \mathcal{D}}$ è un cono su $GF$. Bisogna mostrare che questo cono ha la proprietà universale. Sia $(T,q_D)_{D \in \mathcal{D}}$ un altro cono su $GF$, sia $t \in T$ e sia $c_t: X -> T$ l'applicazione costante definita da $c_t(x)=t$ per ogni $x \in X$. Poichè $u$ è $G$-universale esiste un'unica freccia $m_{t,D}:A -> FD$ tale che $Gm_{t,D} \circ u = q_D \circ c_t$. Analogamente esiste un'unica freccia $m_{t,E}: A -> FE$ tale che $Gm_{t,E} \circ u = q_E \circ c_t$. Ma risulta anche
$G(Fd \circ m_{t,D}) \circ u = GFd \circ Gm_{t,D} \circ u =$
$= GFd \circ q_D \circ c_t = q_E \circ c_t$
quindi per l'unicità $Fd \circ m_{t,D} = m_{t,E}$ ovvero $(A, m_{t,D})_{D \in \mathcal{D}}$ è un cono su $F$ ed esiste un'unica freccia $h_t: A -> N$ tale che $p_D \circ h_t = m_{t,D}$ per ogni oggetto $D$ di $\mathcal{D}$.
Ora abbiamo tutto quello che ci serve per fattorizzare $T$ attraverso $GN$. Scelto un elemento $x \in X$ qualsiasi, definiamo una funzione
$k: t \in T -> (Gh_t \circ u)(x) \in GN$
verifichiamo come si compone con le proiezioni
$(Gp_D \circ k)(t) = (Gp_D \circ Gh_t \circ u)(x) = (G(p_D \circ h_t) \circ u)(x) =$
$= (Gm_{t,D} \circ u)(x) = (q_D \circ c_t)(x) = q_D(c_t(x)) = q_D(t)$
ovvero $Gp_D \circ k = q_D$ per ogni oggetto $D$ di $\mathcal{D}$. Pertanto $(GN, Gp_D)_{D \in \mathcal{D}}$ è un limite di $GF$ e quindi $G$ preserva i limiti.
Risposte
Era decisamente più semplice provare che un aggiunto destro rispetta i limiti, nel modo elegante in cui lo fanno tutti tranne Borceux 
Ho capito, allora appena prendo un pò di confidenza col concetto di aggiunzione vado a vedere questo fatto che mi dici. Grazie.
Eccola qua xD
Ogni aggiunto destro preserva i limiti
Dimostrazione
Siano $F: \mathcal{ A -> B}$ e $U: \mathcal{B -> A}$ una coppia di funtori aggiunti, e sia $G: \mathcal{D->B}$ un diagramma tale che esista il limite $\lim_{D \in Ob(\mathcal{D})} GD$.
Per ogni oggetto $A$ di $mathcal{A}$ risulta
$\mathcal{A}(A,U( \lim GD)) \cong$
$\cong \mathcal{B}(FA, \lim GD) \cong$
$\cong \lim \mathcal{B}(FA, GD) \cong$
$\cong \lim \mathcal{A}(A, UGD) \cong$
$\cong \mathcal{A}(A, \lim UGD)$
e per Yoneda si conclude $U(lim_{D \in Ob(\mathcal{D})} GD) \cong lim_{D \in Ob(\mathcal{D})} UGD$
Ogni aggiunto destro preserva i limiti
Dimostrazione
Siano $F: \mathcal{ A -> B}$ e $U: \mathcal{B -> A}$ una coppia di funtori aggiunti, e sia $G: \mathcal{D->B}$ un diagramma tale che esista il limite $\lim_{D \in Ob(\mathcal{D})} GD$.
Per ogni oggetto $A$ di $mathcal{A}$ risulta
$\mathcal{A}(A,U( \lim GD)) \cong$
$\cong \mathcal{B}(FA, \lim GD) \cong$
$\cong \lim \mathcal{B}(FA, GD) \cong$
$\cong \lim \mathcal{A}(A, UGD) \cong$
$\cong \mathcal{A}(A, \lim UGD)$
e per Yoneda si conclude $U(lim_{D \in Ob(\mathcal{D})} GD) \cong lim_{D \in Ob(\mathcal{D})} UGD$
Bravò!
Graziè! xD
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