Frobenius
Salve a tutti...
chiedo un chiarimento su un passaggio di un teorema....
Se $H$ è un complemento di Frobenius di $G$ e $M$ è un sottogruppo normale di $G$ tale che $M\cap H=1$, perchè $M\cap H^{x}=1\ \forall x\in G$?
Grazie a tutti per l'aiuto.
chiedo un chiarimento su un passaggio di un teorema....
Se $H$ è un complemento di Frobenius di $G$ e $M$ è un sottogruppo normale di $G$ tale che $M\cap H=1$, perchè $M\cap H^{x}=1\ \forall x\in G$?
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
\(\displaystyle H^x\cap M = H^x \cap M^x = (H \cap M)^x \).
Infatti se \(\displaystyle g\in H \cap M \) allora banalmente \(\displaystyle g^x \in H^x \) e \(\displaystyle g^x \in M^x \). Viceversa se \(\displaystyle g\in H^x \cap M^x \) allora esiste \(\displaystyle h\in H\) e \(m\in M \) tali che \(\displaystyle g = h^x = m^x \). Ma \(\displaystyle 1 = gg^{-1} = xhx^{-1}xm^{-1}x = xhm^{-1}x^{-1} \), ossia \(\displaystyle hm^{-1} = 1 \).
Infatti se \(\displaystyle g\in H \cap M \) allora banalmente \(\displaystyle g^x \in H^x \) e \(\displaystyle g^x \in M^x \). Viceversa se \(\displaystyle g\in H^x \cap M^x \) allora esiste \(\displaystyle h\in H\) e \(m\in M \) tali che \(\displaystyle g = h^x = m^x \). Ma \(\displaystyle 1 = gg^{-1} = xhx^{-1}xm^{-1}x = xhm^{-1}x^{-1} \), ossia \(\displaystyle hm^{-1} = 1 \).
grazie mille
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