Frase sempre vera
ciao a tutti ho la seguente frase che dovrebbe risultare sempre vera,solo che non riesco a capire perché:
$EE x | Q(x) => AAy Q(y) $
Q(x) e Q(y) sono dei predicati generici che possono essere veri o falsi
Il professore ha detto che questa risulta sempre vera indipendentemente da Q , solo che non riesco a capire perché.
Vi ringrazio molto per l'attenzione e pazienza
P.S La | è "tale che"
$EE x | Q(x) => AAy Q(y) $
Q(x) e Q(y) sono dei predicati generici che possono essere veri o falsi
Il professore ha detto che questa risulta sempre vera indipendentemente da Q , solo che non riesco a capire perché.
Vi ringrazio molto per l'attenzione e pazienza
P.S La | è "tale che"
Risposte
Il predicato è $Q$, non $Qx$. Questa frase non è sempre vera. Se assegni $Q = $ essere zero nell'universo dei numeri naturali, hai che esiste un $x$ per cui $Qx$ è vera (lo zero appunto) ma non è vero che per ogni $y$ $Qy$ è vera. (e di esempi se ne possono trovare a vagoni)
@Pappappero Ex falso sequitur quodlibet!
@matematicamenteparlando Esiste un giorno dell'anno che è il primo gennaio allora ogni giorno dell'anno è il primo gennaio!
@matematicamenteparlando Esiste un giorno dell'anno che è il primo gennaio allora ogni giorno dell'anno è il primo gennaio!
Ex falso quod libet, ma qui non abbiamo assunzioni false. Appunto "[Se] esiste un giorno dell'anno che è il primo gennaio allora ogni giorno dell'anno è il primo gennaio!" non e' una affermazione vera.
Se vogliamo fare le cose con precisione estrema, ai limiti della paranoia,
\[
\exists x Qx \to \forall y Qy
\]
e' equivalente a
\[
(\neg \exists x Qx) \vee (\forall y Qy)
\]
che e' equivalente a
\[
\forall x \forall y \neg Qx \vee Qy
\]
Consideriamo ora un universo fatto nel modo seguente. $U = \{a,b\}$. Il predicato unario $Q$ e' un sottoinsieme di $U$; consideriamo $Q = \{ a\}$. In questo universo, la affermazione finale, ed equivalentemente quella di partenza, e' falsa!!!!
Ex falso quod libet si applicherebbe a qualcosa della forma "se (qualcosa di falso vale) allora (i cavalli hanno 6 zampe)". Mi sto perdendo qualcosa?
Se vogliamo fare le cose con precisione estrema, ai limiti della paranoia,
\[
\exists x Qx \to \forall y Qy
\]
e' equivalente a
\[
(\neg \exists x Qx) \vee (\forall y Qy)
\]
che e' equivalente a
\[
\forall x \forall y \neg Qx \vee Qy
\]
Consideriamo ora un universo fatto nel modo seguente. $U = \{a,b\}$. Il predicato unario $Q$ e' un sottoinsieme di $U$; consideriamo $Q = \{ a\}$. In questo universo, la affermazione finale, ed equivalentemente quella di partenza, e' falsa!!!!
Ex falso quod libet si applicherebbe a qualcosa della forma "se (qualcosa di falso vale) allora (i cavalli hanno 6 zampe)". Mi sto perdendo qualcosa?
Ok...ma quindi sono due frasi diverse e concordo sul fatto che quella del pradosso del bevitore sia sempre vera. Infatti negandola è facile fare istanziazioni e arrivare ad una contraddizione.
Ma sono due frasi diverse. A parole le due affermazioni, quella dei miei post e quella del bevitore rispettivamente, si possono rendere come segue:
"Se qualcuno è $Q$ allora tutti sono $Q$" (che non è sempre vera)
"Esiste qualcuno con la seguente proprietà: se lui è $Q$, allora tutti sono $Q$" (e questa è sempre vera)
Ora mi torna tutto...
Ma sono due frasi diverse. A parole le due affermazioni, quella dei miei post e quella del bevitore rispettivamente, si possono rendere come segue:
"Se qualcuno è $Q$ allora tutti sono $Q$" (che non è sempre vera)
"Esiste qualcuno con la seguente proprietà: se lui è $Q$, allora tutti sono $Q$" (e questa è sempre vera)
Ora mi torna tutto...
"matematicamenteparlando":
ciao a tutti ho la seguente frase che dovrebbe risultare sempre vera,solo che non riesco a capire perché:
$EE x | Q(x) => AAy Q(y) $
Q(x) e Q(y) sono dei predicati generici che possono essere veri o falsi
Il professore ha detto che questa risulta sempre vera indipendentemente da Q , solo che non riesco a capire perché.
Vi ringrazio molto per l'attenzione e pazienza
P.S La | è "tale che"
Chiarito che è $EE x [Q(x) => AAy Q(y)] $, una piccola spiegazione per casi (non molto formale a dire il vero) è questa: la $[Q(x) => AAy Q(y)]$ è vera quando antecedente e conseguente sono entrambi veri e ogniqualvolta l'antecedente è falso. Sia $AAx Q(x)$, allora è banale che $EE x [Q(x) => AAy Q(y)] $ sia sempre vera. Sia $\not AAx Q(x)$, ciò è equivalente a dire $EE x \not Q(x)$, cioè esiste un $x$ che rende l'antecedente di $ [Q(x) => AAy Q(y)] $ falso, quindi il predicato vero, cioè $EE x [Q(x) => AAy Q(y)] $. Ho analizzato tutti i casi per il terzo escluso ($AAxQ(x) \or \notAAxQ(x)$).
@Pappappero Quando ho letto "universo dei numeri naturali" ho pensato ad \(\displaystyle\mathbb{N}=\{1;2;...\}\) e non ad \(\displaystyle\mathbb{N}_0=\{0;1;...\}\).
Per me $0$ è sempre un numero naturale...probabilmente il più naturale di tutti i numeri XD
Comunque svelato l'inghippo...concludo con una dimostrazione formale del fatto che l'affermazione in questione è una tautologia.
Abbiamo
$EE x [Qx \to AAy Qy] $
Proviamo a negarla e scriviamo l'implicazione in forma disgiuntiva, quindi
\[
\neg \exists x [\neg Qx \vee \forall y Qy]
\]
Equivalentemente
\[
\forall x \neg[\neg Qx \vee \forall y Qy]
\]
Equivalentemente per la legge di De Morgan
\[
\forall x [Qx \wedge (\neg \forall y Qy)]
\]
Equivalentemente
\[
\forall x [Qx \wedge (\exists y \neg Qy)]
\]
Equivalentemente, spostando i quantificatori in testa
\[ \forall x \exists y [Qx \wedge \neg Qy]
\]
Skolemizziamo con una funzione $f$:
\[
\forall x [Qx \wedge \neg Qf(x)]
\]
Abbiamo dunque le due clausole $\{ Qx \}$ e $\{ \neg Qf(x)\}$. Consideriamo una costante $e$ (la costante d'ufficio dell'universo di Herbrand, come diceva il mio prof). Istanziamo la prima clausola su $f(e)$ e la seconda su $e$. Abbiamo $\{ Qf(e) \}$ e $\{ \neg Qf(e)\}$ che si contraggono sulla clausola vuota.
Comunque svelato l'inghippo...concludo con una dimostrazione formale del fatto che l'affermazione in questione è una tautologia.
Abbiamo
$EE x [Qx \to AAy Qy] $
Proviamo a negarla e scriviamo l'implicazione in forma disgiuntiva, quindi
\[
\neg \exists x [\neg Qx \vee \forall y Qy]
\]
Equivalentemente
\[
\forall x \neg[\neg Qx \vee \forall y Qy]
\]
Equivalentemente per la legge di De Morgan
\[
\forall x [Qx \wedge (\neg \forall y Qy)]
\]
Equivalentemente
\[
\forall x [Qx \wedge (\exists y \neg Qy)]
\]
Equivalentemente, spostando i quantificatori in testa
\[ \forall x \exists y [Qx \wedge \neg Qy]
\]
Skolemizziamo con una funzione $f$:
\[
\forall x [Qx \wedge \neg Qf(x)]
\]
Abbiamo dunque le due clausole $\{ Qx \}$ e $\{ \neg Qf(x)\}$. Consideriamo una costante $e$ (la costante d'ufficio dell'universo di Herbrand, come diceva il mio prof). Istanziamo la prima clausola su $f(e)$ e la seconda su $e$. Abbiamo $\{ Qf(e) \}$ e $\{ \neg Qf(e)\}$ che si contraggono sulla clausola vuota.
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