Formula generale per discriminante polinomio

[lukul]

Salve a TUTTI!!!

Avrei un broblema da proporvi e confido che possiate darmi una soluzione tanto auspicata.

Problema:

Dato il seguente polinomio:

$ p(z)=(a(n)*z)^(n) + (a(n-1)*z)^(n-1) + ... + (a(n-n+1)*z)^(n-n+1) + (a(n-n)*z)^(n-n) $

Chiedo se esiste e quale sia la formula generale che permette di calcolarne il discriminante. Grazie per il vostro aiuto.

[gugo82]

[mod="gugo82"]@lukul: Vero è che sei nuovo, ma un'occhiata al post Finalità di questa sezione avresti potuto anche darla.
Spero che le prossime volte tu stia più attento a dove posti.

Sposto in Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.[/mod]

[lukul]

Penso di essere approdato a qualcosa.

Il risultante di un polinomio monico è ,a meno del segno, il risultante del polinomio stesso e della sua derivata.

Supponiamo di trovarci nel caso semplice in cui $ p(x)=a*x^2+b*x+c $ e $ q(x)=p'(x)=2*a*x+b $ . Il risultante sarà una matrice quadrata la cui dimensione è data dalla somma dei gradi dei due polinomi monici (nell'es.: (2+1)*(2+1)): $ S(p,q)=( ( a , b , c ),( 2a , b , 0 ),( 0 , 2a , b ) ) $ . Il determinate di questa matrice è: $ Det(S(p,q)) =-a*b^2+4*a^2*c $ . n = 2 per cui $ (-1)^(1/2*n(n+1))=-1 $ e facendo: $ (-1)^(1/2*n(n+1))*(Det(S(p,q)))/a; (n=2) $ ottengo il ben noto discriminante dell'eq. di 2° grado $ b^2-4*a*c $

[Lord K]

La teoria dei determinanti è una parte della teoria di Galois, la definizione generale di discriminante è:

"P. Morandi Field and Galois Theory pag.112":twrsfq6n:
Definizione: Sia [tex]F[/tex] un campo con caratteristica differente da [tex]2[/tex] e sia [tex]f(x) \in F[x][/tex]. Siano [tex]\alpha_1, \cdots \alpha_n[/tex] le radici del polinomio in un campo di spezzamento [tex]K[/tex] di [tex]f[/tex] su [tex]F[/tex] e sia:

[tex]\displaystyle \Delta = \prod_{i
Allora il discriminante di [tex]f[/tex] è l'elemento:

[tex]\displaystyle D = \Delta^2 = \prod_{i