Formula esplicita per i coefficienti di un polinomio

[fransis2]

per ogni [tex]k[/tex] intero non negativo definiamo il polinomio [tex]p_k(x)=\prod_{j=0}^{k-1}(x-j)[/tex] e sia [tex]a_{i,k}[/tex] il coefficiente di grado [tex]i[/tex] relativo a [tex]p_k[/tex]. Ero interessato a trovare una formula esplicita per [tex]a_{i,k}[/tex].

[gugo82]

Se non erro, comunque fissi il grado [tex]$k\in \mathbb{N}$[/tex] e le radici [tex]$x_0,\ldots ,x_{k-1} \in \mathbb{R}$[/tex], il polinomio:

[tex]$P_k(x):=\prod_{j=0}^{k-1} x-x_j$[/tex]

si esprime come:

[tex]$P_k(x)=\sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\ S_j(x_0,\ldots ,x_{k-1})\ x^j$[/tex],

in cui le [tex]$S_j$[/tex] sono le funzioni simmetriche di base (o polinomi simmetrici elementari) su [tex]$k-1$[/tex] argomenti:

[tex]$S_0(x_0,\ldots ,x_{k-1}) =\prod_{j=0}^{k-1} x_j$[/tex]
[tex]$S_1(x_0,\ldots ,x_{k-1}) =\sum_{j=0}^{k-1} \prod_{i\neq j} x_i$[/tex]
[tex]$S_2(x_0,\ldots ,x_{k-1}) =\sum_{i,j=0}^{k-1} \prod_{h\neq i,j} x_h$[/tex]
...
[tex]$S_{k-2}(x_0,\ldots ,x_{k-1}) =\sum_{0\leq i [tex]$S_{k-1}(x_0,\ldots ,x_{k-1}) =\sum_{j=0}^{k-1} x_j$[/tex]
[tex]$S_k(x_0,\ldots ,x_{k-1}) =1$[/tex].

[fransis2]

ok questo mi torna... però io volevo sapere se si poteva trovare una formula un tantino più esplicita per $x_j=j$. Tra l'altro girando un po' su internet ho trovato questo: http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html
a pag. 140 c'è una formula collegata a quello che ci interessa...

[gugo82]

Vabbé...
[tex]$S_0$[/tex] è [tex]$0$[/tex] (perchè c'è un [tex]$j=0$[/tex] nel prodotto).
[tex]$S_{k-1}$[/tex] è la somma dei primi [tex]$k$[/tex] naturali [tex]$0$[/tex] incluso, ergo [tex]$\frac{k(k-1)}{2}$[/tex].
[tex]$S_k$[/tex] non dà problemi, perchè è [tex]$=1$[/tex].

Per le altre [tex]$k-2$[/tex] funzioni boh...

Poi, il testo ti dice che quei coefficienti sono i numeri di Stirling di prima specie e ti fornisce un modo per provarne la parità o disparità in funzione del coefficiente binomiale e della parte intera. Prova a cercare qualcosa in più su tali numerilli.