Formula di Eulero n-m+f=2
Aiuto ragazzi, sto impazzendo perchè non riesco a trovare la dimostrazione di questa formula; siccome non è molto lunga a quanto ho visto per i vari siti, ma nessuno che la spiegasse per bene, mi potreste gentilmente riportare la dimostrazione, o un link ad una che sia spiegata per bene oppure ancora se qualcuno ha qualche file o scannerizzazione mi può mandare una mail, in caso posso lasciarli l'indirizzo, basta me lo dica rispondendo al topic. E' abbastanza urgente
grazie mille a tutti i anticipatamente!!
grazie mille a tutti i anticipatamente!!
Risposte
E' vera perchè l'essere umano ha num. $1$ nasi, num. $1$ mandibole e num. $2$ femori. C.V.D.
"alvinlee88":
E' vera perchè l'essere umano ha num. $1$ nasi, num. $1$ mandibole e num. $2$ femori. C.V.D.
AHAH, bella battuta! Certo magari evita di postare per dire queste cavolate. Non è utile nè per me nè per gli altri ch andranno a leggere sta conversazione.
Il tempo è denaro, mai perderlo e mai farlo perdere!
ciao
Una dimostrazione molto ingegnosa della caratteristica di Eulero dovuta a Legendre (1794).
Se $P$ è un poliedro convesso e con $v$, $s$ e $f$ indichaimo rispettivamente il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce di $P$, vale $v-s+f=2$
DIMOSTRAZIONE
Sia $P$ un poliedro convesso e $S$ la sfera di raggio unitario e centro in un qualsiasi punto interno del poliedro. Se proiettiamo il poliedro su $S$, allora ogni faccia di $P$ si trasforma in un poligono sferico $P_h(h=1,...,f)$ per il quale l'area è come sappiamo:
$A(P_h)=\sum_{h=1}^{n_h} \alpha_{ih}-\pi(n_h-2)$
dove $ \alpha_{ih}$ sono gli angoli interni di $P_h$ e $n_h$ è il numero dei lati di $P_h$.
Dunque
$A(S)=\sum_{h=1}^{f}A(P_h)=\sum_{h=1}^{f}[\sum_{i=1}^{n_h}\alpha_{ih}-\pi(n_h-2)]=$
$= \sum_{h=1}^{f}(\sum_{i=1}^{n_h}\alpha_{ih})-\pi\sum_{h=1}^{f}n_h+2\pif=2\piv-2\pis+2\pif$
Dato che l'Area di una sfera è $4\pi$, abbiamo (raccogliendo) $2\pi(v-s+f)=4/pi$....cioè $(v-s+f)=2$. Ciao
Se $P$ è un poliedro convesso e con $v$, $s$ e $f$ indichaimo rispettivamente il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce di $P$, vale $v-s+f=2$
DIMOSTRAZIONE
Sia $P$ un poliedro convesso e $S$ la sfera di raggio unitario e centro in un qualsiasi punto interno del poliedro. Se proiettiamo il poliedro su $S$, allora ogni faccia di $P$ si trasforma in un poligono sferico $P_h(h=1,...,f)$ per il quale l'area è come sappiamo:
$A(P_h)=\sum_{h=1}^{n_h} \alpha_{ih}-\pi(n_h-2)$
dove $ \alpha_{ih}$ sono gli angoli interni di $P_h$ e $n_h$ è il numero dei lati di $P_h$.
Dunque
$A(S)=\sum_{h=1}^{f}A(P_h)=\sum_{h=1}^{f}[\sum_{i=1}^{n_h}\alpha_{ih}-\pi(n_h-2)]=$
$= \sum_{h=1}^{f}(\sum_{i=1}^{n_h}\alpha_{ih})-\pi\sum_{h=1}^{f}n_h+2\pif=2\piv-2\pis+2\pif$
Dato che l'Area di una sfera è $4\pi$, abbiamo (raccogliendo) $2\pi(v-s+f)=4/pi$....cioè $(v-s+f)=2$. Ciao
"gianluc1986":
[quote="alvinlee88"]E' vera perchè l'essere umano ha num. $1$ nasi, num. $1$ mandibole e num. $2$ femori. C.V.D.
AHAH, bella battuta! Certo magari evita di postare per dire queste cavolate. Non è utile nè per me nè per gli altri ch andranno a leggere sta conversazione.
Il tempo è denaro, mai perderlo e mai farlo perdere!
ciao[/quote]Alvinlee ti ha semplicemente invitato (indirettamente) a spiegare la tua notazione, cioe' a dire cosa sono $m$, $n$, $f$.
Anche perche' di solito si chiamano $v$, $s$, $f$.
Considera un grafo planare $G$ con $n$ vertici, $m$ spigoli e $f$ facce. Sia $T$ il suo albero generante, essendo un albero, $T$ ha $n$ vertici, $n-1$ spigoli e $1$ faccia per cui la formula di Eulero vale.
Consideriamo ora la sequena di grafi $G_i$ che fa passare da $G$ al suo albero generante $T$.
A ogni passo si perde uno spigolo e si perde una faccia, dunque la formula vale per $G_i$ se e solo se vale per $G_i+_1$.
Valendo per $T$ allora vale per ogni grafo della sequenza e in particolare per $G$.
Ciao
Consideriamo ora la sequena di grafi $G_i$ che fa passare da $G$ al suo albero generante $T$.
A ogni passo si perde uno spigolo e si perde una faccia, dunque la formula vale per $G_i$ se e solo se vale per $G_i+_1$.
Valendo per $T$ allora vale per ogni grafo della sequenza e in particolare per $G$.
Ciao
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