Formula asintotica di Hardy e Ramanujan
Ciao a tutti da un po' ho letto un libro "L'enigma dei numeri primi" di Marcus du Sautoy e c'era un fantastica formula di Hardy e Ramanujan che apprssimava il numero di partizioni di un numero qualsiasi. Dopo fun migliorata e ne fu trovata un altra che è questa
[tex]p(n)=\frac{1}{\pi \sqrt{2}} \sum_{k=1}^\infty \sqrt{k} \; A_k(n)\; \frac{d }{d n} \left( \frac {\sinh \left( \frac{\pi}{k} \sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right) } {\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right),[/tex]
dove[tex]A_k(n) = \sum_{0\le m < k \; ; \; (m,k)=1} e^{ \pi i s(m,k) - 2\pi i\frac{nm}k},[/tex]
Quello che voglio chiedervi è a che serve trovare le partizioni di un numero??
[tex]p(n)=\frac{1}{\pi \sqrt{2}} \sum_{k=1}^\infty \sqrt{k} \; A_k(n)\; \frac{d }{d n} \left( \frac {\sinh \left( \frac{\pi}{k} \sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right) } {\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right),[/tex]
dove[tex]A_k(n) = \sum_{0\le m < k \; ; \; (m,k)=1} e^{ \pi i s(m,k) - 2\pi i\frac{nm}k},[/tex]
Quello che voglio chiedervi è a che serve trovare le partizioni di un numero??
Risposte
Proprio nessuno riesce ad aiutarmi???
"nicolaflute":
Quello che voglio chiedervi è a che serve trovare le partizioni di un numero??
secondo me fondamentalmente a niente, mentre la sequenza dei $p(n)$ forse sì (come avrai visto dalla pagina di wikipedia dalla quale hai fatto copia-incolla della formula
)
Ho letto anche che da pochissimo Ken Ono ha fatto uno studio dove ha notato insieme ai collaboratori che le partizioni si presentano quasi come la struttura di un frattale.
E dove posso trovare una dimostrazione di questa formula?
E dove posso trovare una dimostrazione di questa formula?
leggiti le note e la bibliografia (sempre di wikipedia) per risalire alle fonti
per quanto riguarda il "a cosa serve" in generale... Faraday, interrogato sull'utilità dei suoi giochetti elettromagnetici, rispose "un giorno si potrà tassare!"
Scherzi a parte... Una dimostrazione della formula che cerchi credo possa trovarsi sull'Introduction of the Theory of numbers, di Hardy e Wright (se lì non c'è c'è di sicuro un riferimento... magari lo cerco in facoltà e provo a vedere).
Quanto alla storia di Ken Ono, bella lì. Un po' mi rode, perchè mi sono interessato alle partizioni per un bel pezzo, e naturalmente fantasticavo di trovare da solo una bella formula per cui essere ricordato nei decenni
.
Un pò di link interessanti su Ken Ono li trovi su http://piombodisaturno.wordpress.com (uno degli ultimi post).
Un'altra lettura che ti consiglio caldamente è un articolo contenente delle letture sulla teoria delle partizioni. L'autore è il mio eroe Herb Wilf: Lo trovi qui:
http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf
Ciao!
Scherzi a parte... Una dimostrazione della formula che cerchi credo possa trovarsi sull'Introduction of the Theory of numbers, di Hardy e Wright (se lì non c'è c'è di sicuro un riferimento... magari lo cerco in facoltà e provo a vedere).
Quanto alla storia di Ken Ono, bella lì. Un po' mi rode, perchè mi sono interessato alle partizioni per un bel pezzo, e naturalmente fantasticavo di trovare da solo una bella formula per cui essere ricordato nei decenni
. Un pò di link interessanti su Ken Ono li trovi su http://piombodisaturno.wordpress.com (uno degli ultimi post).
Un'altra lettura che ti consiglio caldamente è un articolo contenente delle letture sulla teoria delle partizioni. L'autore è il mio eroe Herb Wilf: Lo trovi qui:
http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf
Ciao!
Grazie mille!!
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