Forme bilineari su un'algebra di Lie semplice
Ciao a tutti, sono alle prese con degli esercizi sulle Algebre di Lie che non riesco a fare e mi sarebbe davvero d'aiuto qualche suggerimento. Mi scuso in anticipo se il post sarà un po' lungo ma voglio cercare di scrivere quello che ho provato a fare.
La situazione è questa:
ho un'algebra di Lie $L$, semplice. $dim L = n$.
Se $\beta$ e $\gamma$ sono forme bilineari (bracket-associative, non degeneri) definite su $L$, dimostrare che sono necessariamente proporzionali.
I risultati coinvolti, in breve, sono questi:
1) Se $\beta$ è una forma bilineare su $L$, fissata una base $(x_i)$ di $L$, esiste unica un'altra base $(y_i)$ tale che $\beta(x_i, y_j) = \delta_{ij}$ (dove $\delta$ è il simbolo di kronecker), che chiamiamo base duale di $\beta$ (rispetto alla base fissata $(x_i)$).
Quindi, fissata una base $(x_i)$, ci sarà una base duale $(y_i)$ di $\beta$ e una base duale $(z_i)$ di $\gamma$.
2)Se $\phi$ è una rappresentazione fedele: $\phi: L -> gl(V)$,
allora l'elemento $C_{\phi}(\beta) \in gl(V)$ dato da: $C_{\phi}(\beta) = sum_(i = 1)^(n) \phi(x_i)\phi(y_i) $ commuta con tutti i $\phi(x)$.
In particolare, se $\phi$ è irriducibile, segue dal lemma di Schur che $C_{\phi}(\beta)$ è scalare, diciamo uguale a $cI$.
3)Se in particolare, su $\phi$ irriducibile (e fedele), prendiamo la forma bilineare data dalla traccia: $\alpha(x,y) = Tr(\phi(x)\phi(y))$, l'elemento $C_{\phi}$ definito come sopra si chiama elemento di Casimir, e vale $C_{\phi}= {dimL}/{dimV}$, poichè $Tr(C_{\phi}) = dimL$.
Una prima osservazione (non so se è utile) è che invece di confrontare due forme bilineari qualsiasi si può prendere una generica forma bilineare $\beta$ e confrontarla con $\alpha$, cioè quella data dalla traccia. Se si dimostra che queste sono proporzionali, dall'arbitrarietà della forma bilineare scelta seguirà la tesi. Diciamo allora che vogliamo dimostrare che una qualsiasi forma bilineare definita su $L$ (con le ipotesi dette) è proporzionale ad $\alpha$.
L'idea che io sto cercando di seguire è la seguente: se devo ottenere che $\beta$ e $\alpha$ sono proporzionali, in particolare deve valere per i vettori delle basi $(x_i)$ e $(y_i)$.
Quindi se $\alpha(x_i, y_i) = 1$ (e gli altri zero) deve succedere che $\alpha(x_i, z_i) = k$, per ogni i.
In sostanza mi sembra che questo significhi che le due basi duali $(y_i)$ e $(z_i)$ sono tra loro proporzionali. Ovvero bisogna tirare in qualche modo in mezzo gli scalari dati dal lemma di Schur.
In definitiva quello che sto cercando di fare, su pagine e pagine di calcoli inutili che non mi hanno portato da nessuna parte, è di manipolare le relazioni che ho cercando di sfruttare il punto 2).
Ho provato a scrivere un $y_i$ come $y_i =sum_(j = 1)^(n) a_{ij}z_j$, per far vedere che gli $a_{ii}$ erano gli unici non nulli e uguali tra loro, ma non ci sono riuscita.
Ho provato a partire da $\alpha(x_i, z_j)$ cercando di manipolare un po', ma niente.
Non riesco a trascrivere online tutti i tentativi che ho fatto, però spero di avere reso l'idea.
Grazie mille, scusate la lungaggine
(per riferimenti: l'esercizio è tratto dall' Humphreys, Capitolo II, sezione 6, esercizio 6)
La situazione è questa:
ho un'algebra di Lie $L$, semplice. $dim L = n$.
Se $\beta$ e $\gamma$ sono forme bilineari (bracket-associative, non degeneri) definite su $L$, dimostrare che sono necessariamente proporzionali.
I risultati coinvolti, in breve, sono questi:
1) Se $\beta$ è una forma bilineare su $L$, fissata una base $(x_i)$ di $L$, esiste unica un'altra base $(y_i)$ tale che $\beta(x_i, y_j) = \delta_{ij}$ (dove $\delta$ è il simbolo di kronecker), che chiamiamo base duale di $\beta$ (rispetto alla base fissata $(x_i)$).
Quindi, fissata una base $(x_i)$, ci sarà una base duale $(y_i)$ di $\beta$ e una base duale $(z_i)$ di $\gamma$.
2)Se $\phi$ è una rappresentazione fedele: $\phi: L -> gl(V)$,
allora l'elemento $C_{\phi}(\beta) \in gl(V)$ dato da: $C_{\phi}(\beta) = sum_(i = 1)^(n) \phi(x_i)\phi(y_i) $ commuta con tutti i $\phi(x)$.
In particolare, se $\phi$ è irriducibile, segue dal lemma di Schur che $C_{\phi}(\beta)$ è scalare, diciamo uguale a $cI$.
3)Se in particolare, su $\phi$ irriducibile (e fedele), prendiamo la forma bilineare data dalla traccia: $\alpha(x,y) = Tr(\phi(x)\phi(y))$, l'elemento $C_{\phi}$ definito come sopra si chiama elemento di Casimir, e vale $C_{\phi}= {dimL}/{dimV}$, poichè $Tr(C_{\phi}) = dimL$.
Una prima osservazione (non so se è utile) è che invece di confrontare due forme bilineari qualsiasi si può prendere una generica forma bilineare $\beta$ e confrontarla con $\alpha$, cioè quella data dalla traccia. Se si dimostra che queste sono proporzionali, dall'arbitrarietà della forma bilineare scelta seguirà la tesi. Diciamo allora che vogliamo dimostrare che una qualsiasi forma bilineare definita su $L$ (con le ipotesi dette) è proporzionale ad $\alpha$.
L'idea che io sto cercando di seguire è la seguente: se devo ottenere che $\beta$ e $\alpha$ sono proporzionali, in particolare deve valere per i vettori delle basi $(x_i)$ e $(y_i)$.
Quindi se $\alpha(x_i, y_i) = 1$ (e gli altri zero) deve succedere che $\alpha(x_i, z_i) = k$, per ogni i.
In sostanza mi sembra che questo significhi che le due basi duali $(y_i)$ e $(z_i)$ sono tra loro proporzionali. Ovvero bisogna tirare in qualche modo in mezzo gli scalari dati dal lemma di Schur.
In definitiva quello che sto cercando di fare, su pagine e pagine di calcoli inutili che non mi hanno portato da nessuna parte, è di manipolare le relazioni che ho cercando di sfruttare il punto 2).
Ho provato a scrivere un $y_i$ come $y_i =sum_(j = 1)^(n) a_{ij}z_j$, per far vedere che gli $a_{ii}$ erano gli unici non nulli e uguali tra loro, ma non ci sono riuscita.
Ho provato a partire da $\alpha(x_i, z_j)$ cercando di manipolare un po', ma niente.
Non riesco a trascrivere online tutti i tentativi che ho fatto, però spero di avere reso l'idea.
Grazie mille, scusate la lungaggine
(per riferimenti: l'esercizio è tratto dall' Humphreys, Capitolo II, sezione 6, esercizio 6)
Risposte
Non conosco nulla dovuto a Sophus Lie, ma leggendo per curiosità: chi è [tex]$V$[/tex]?
Spazio vettoriale generico di dimensione finita, per l'occasione vestito da L-modulo 
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