Finitezza di un gruppo
Salve a tutti
Mi stavo chiedendo come si ragiona in astratto per dimostrare la finitezza o infinitezza di un certo gruppo. Il mio problema sono le condizioni sufficienti. Da quanto sono riuscito a capire esistono gruppi infiniti che hanno tutti gli elementi di ordine finito come i polinomi a coefficienti in un campo finito. Oltretutto esistono anche gruppi che pur essendo infiniti hanno sia elementi di ordine finito che infinito come i numeri complessi di norma 1 con la moltiplicazione. Per cui utilizzando una successione di potenze di un elemento del gruppo e facendo vedere che questa non si ripete mai potrei dimostrare solo che un gruppo non è finito. Ma se volessi dimostrare che invece un gruppo è finito? L'unica cosa che mi viene in mente è trovare un isomorfismo con un gruppo noto e finito. Ma posso ragionare in qualche altro modo? Esistono dei teoremi che danno condizioni sufficienti in tal senso?
Per esempio come si potrebbe dimostrare formalmente che $\mathbb{Z}\\m\mathbb{Z}$ è finito se $m\ne0$? Il fatto che tutti gli elementi abbiano ordine finito di per sè non mi garantisce che il gruppo sia finito.
grazie
Mi stavo chiedendo come si ragiona in astratto per dimostrare la finitezza o infinitezza di un certo gruppo. Il mio problema sono le condizioni sufficienti. Da quanto sono riuscito a capire esistono gruppi infiniti che hanno tutti gli elementi di ordine finito come i polinomi a coefficienti in un campo finito. Oltretutto esistono anche gruppi che pur essendo infiniti hanno sia elementi di ordine finito che infinito come i numeri complessi di norma 1 con la moltiplicazione. Per cui utilizzando una successione di potenze di un elemento del gruppo e facendo vedere che questa non si ripete mai potrei dimostrare solo che un gruppo non è finito. Ma se volessi dimostrare che invece un gruppo è finito? L'unica cosa che mi viene in mente è trovare un isomorfismo con un gruppo noto e finito. Ma posso ragionare in qualche altro modo? Esistono dei teoremi che danno condizioni sufficienti in tal senso?
Per esempio come si potrebbe dimostrare formalmente che $\mathbb{Z}\\m\mathbb{Z}$ è finito se $m\ne0$? Il fatto che tutti gli elementi abbiano ordine finito di per sè non mi garantisce che il gruppo sia finito.
grazie
Risposte
La condizione di finitezza di un gruppo è puramente set-teoretica, nel senso che un gruppo finito non è altro che un gruppo il cui supporto insiemistico è un insieme finito.
Un'opzione è dire che insieme $G$ è finito quando è (Dedekind) finito, cioè quando se \(T\) è un suo sottoinsieme, non esistono funzioni iniettive \(G \to T\).
Più costruttivamente, un insieme è "finito" quando esiste una biiezione con un ordinale finito (gli ordinali finiti si definiscono induttivamente; e non differiscono molto dai cardinali finiti perché su un ordinale finito c'è un solo buon ordine...).
Un'opzione è dire che insieme $G$ è finito quando è (Dedekind) finito, cioè quando se \(T\) è un suo sottoinsieme, non esistono funzioni iniettive \(G \to T\).
Più costruttivamente, un insieme è "finito" quando esiste una biiezione con un ordinale finito (gli ordinali finiti si definiscono induttivamente; e non differiscono molto dai cardinali finiti perché su un ordinale finito c'è un solo buon ordine...).
E' una domanda un po' vaga, dipende molto dai casi, dalla definizione del gruppo. \(\mathbb Z/m\mathbb Z\) è finito perchè lo è per costruzione, i.e. il quoziente di $\mathbb Z$ modulo il sottogruppo $m\mathbb Z$ ha un insieme finito di rappresentanti.
Una condizione sufficiente che si usa a volte è: il gruppo è abeliano, finitamente generato e ogni elemento ha ordine finito.
Una condizione sufficiente che si usa a volte è: il gruppo è abeliano, finitamente generato e ogni elemento ha ordine finito.
grazie mille a tutti e due
"Isaac888":
Salve a tutti
Mi stavo chiedendo come si ragiona in astratto [...]
Questa é una domanda, mentre...
Per esempio come si potrebbe dimostrare formalmente che $\mathbb{Z}\\m\mathbb{Z}$ è finito se $m\ne0$?
...questa é completamente un'altra! Per la seconda domanda, la risposta é molto concreta; é una conseguenza della divisione euclidea. Non a caso quel gruppo si chiama anche "delle classi di resto modulo $m$".
Fossi in te passerei piú tempo con la seconda domanda che con la prima.
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