Filtri e misure

[asabasa]

Come dimostro che :

-Data una misura $mu$ non nulla e considerando solo i sottoinsiemi di misura piena

$F={C ⊆ V : mu(C)=mu(V)}$

$F$ è un filtro?

-Dato un filtro massimale $F$ su $V$

$mu(C) = {(1 se C ∈ F),(0 se C ∉ F):}$

è una misura su V?

[Paolo902]

Cominciando dalla (1), qual è la definizione di filtro? Devi verificare la chiusura di quella famiglia rispetto a due operazioni insiemistiche... quali?

[asabasa]

L'intersezione
se $A,B in F Rightarrow AnnB inF $
e poi F deve contenere i soprainsiemi dei suoi membri
se $ A in F$ e $ A sube B Rightarrow B in F $

[Paolo902]

Bene, allora prova a verificare le due proprietà nel caso in esame. Prendi quindi $A,B$ nella tua famiglia: l'intersezione $A cap B$ sta ancora lì dentro? (E se $C \subset D$ con $C$ di misura piena allora lo è anche $D$?)

Dai, prova che non è difficile.

[asabasa]

Grazie, ora provo e poi posto

[asabasa]

Provo a ragionare,
Se $A,B in F$ allora $ mu(A) = mu (V)= m(B)$

considero gli insiemi complementari

allora $mu(A^c)=0=mu(B^c)$ allora per le proprietà della misura $mu(A^cuuB^c)=0$

$A^cuuB^c=(AnnB)^c Rightarrow mu(AnnB)=mu(V)$

[asabasa]

per l'altra io ho che

$AsubeB Rightarrow mu(A)<=mu(B)$

ma $AinF Rightarrow mu(A)=mu(V)<=mu(B)$

se $BnotinF Rightarrow mu(B)=0$ che è assurdo

[Paolo902]

Mi sembra OK.

[asabasa]

Grazie dell'imput

E l'altra? XD
Devo ragionare sulle proprietà della misura?
cioè
$A,BsubeV$ $ mu(A)<=mu(B)$
$A,BsubeV$ $AnnB!=varphi Rightarrow mu(AuuB)=mu(A)+mu(B) $
altrimenti $mu(AuuB)<=mu(A)+mu(B) $

[asabasa]

Se

$A in F$ e $B notin F$ allora $(AuuB)inF$ perchè $AnnB=varphi$
$mu(AuuB)=mu(A)+mu(B)=0+1=1$

Se$A,B notin F$ allora $A^cinF$ $B^cinF$ $mu(A^cuuB^c)=mu(AnnB)^c Rightarrow $ $ AuuB noitn F$
$mu(AuuB)=0$

[Paolo902]

Eccomi... Evocato rispondo. Purtroppo non ho molto tempo in questi giorni, sono sotto esami anche io e non potrò seguirti nel dettaglio. Ad ogni modo, per il secondo punto, che cos'è una misura? Qual è la definizione? Devi ragionare su quella. Il vuoto ha misura nulla? E soprattutto l'applicazione in questione è $\sigma$-additiva?

EDIT: se ti è utile, prova a cercare qualcosa sulle misure atomiche, tipo la delta di Dirac, potrebbero fornirti qualche spunto interessante.

[asabasa]

"Paolo90":Eccomi... Evocato rispondo. Purtroppo non ho molto tempo in questi giorni, sono sotto esami anche io e non potrò seguirti nel dettaglio. Ad ogni modo, per il secondo punto, che cos'è una misura? Qual è la definizione? Devi ragionare su quella. Il vuoto ha misura nulla? E soprattutto l'applicazione in questione è $\sigma$-additiva?
EDIT: se ti è utile, prova a cercare qualcosa sulle misure atomiche, tipo la delta di Dirac, potrebbero fornirti qualche spunto interessante.

Grazie, ci ho provato poi

"asabasa":
-Dato un filtro massimale $F$ su $V$
$mu(C) = {(1 se C ∈ F),(0 se C ∉ F):}$
è una misura su V?

Se $F$ è un ultrafiltro su un insieme finito $V$,
può essere descritto come la famiglia di insieme che contengono un dato elemento:
$F={CsubeV : x in C}$

E provo a definire la misura in questo modo:
$mu(C) = { (1 , x ∈ C), (0 , x ∉ C):}$

Verifichiamo che è una misura

1) $mu : P(V) → [0, +∞]$
verificata perchè $mu$ ha come codominio ${0,1}$

2) $mu(Ø) = 0$
perché $x ∉ Ø$

3) Se ${C_n}_{n}$ è una successione di sottoinsiemi di $V$ due a due disgiunti, allora deve essere
$mu(uuu_{n=0}^\inftyC_n)=sum_{n=0}^\infty mu(C_n)$

Se $x ∉ C_n$ per ogni $n$, allora $x∉ uuuC_n$.
In tal caso $mu(uuuC_n) = 0$ e la serie $∑mu(C_n)$ è formata da elementi tutti $0$.

Se esiste k tale che $x ∈ C_k$ allora $x ∈ uuuC_n$. Inoltre, per ogni $n ≠ k, x ∉ C_n$, in quanto $C_knnC_n=Phi$
In tal caso $mu(UC_n) = 1$ e la serie $∑mu(C_n)$ è formata da elementi tutti $0$ salvo quello di indice $k$ che è $1$