Fibonacci e induzione

[Kvashir]

Ragazzi aiutatemi a risolvere questo esercizio, proprio non capisco come devo usare l'induzione

Sia ${Fn}$ la successione dei numeri di fibonacci, dimostrare tramite il procedimento per induzione che per ogni intero positivo $n$ risulta:

$F1^2+F2^2+...+Fn^2=Fn*Fn+1$

Grazie mille!

[Kvashir]

"Kvashir":Ragazzi aiutatemi a risolvere questo esercizio, proprio non capisco come devo usare l'induzione

Sia ${Fn}$ la successione dei numeri di fibonacci, dimostrare tramite il procedimento per induzione che per ogni intero positivo $n$ risulta:

$F1^2+F2^2+...+Fn^2=Fn*Fn+1$

Grazie mille!

Ok credo di esserci arrivato, ma non so se è corretta la forma di scrittura:

$P(n)=F1^2+F2^2+...+Fn^2=Fn*Fn+1$

$P(3)=1+1+2^2=2*3$

e così via... basta come spiegazione per induzione?

[Kashaman]

No, non basta. Cerca di farlo in questo modo :
trova una base dell'induzione. ad esempio verifica se è vero $P(1)$
supponi la tesi vera per $p(n)$ , dimostra che è vera per $p(n+1)$

[Kvashir]

$P(1) = 1 = 1*1= 1$

così dovrei aver verificato $P(1)$ esatto?

ora devo dimostrare che è vera per p(n+1)?

[Kvashir]

up!

[gugo82]

@Kvashir: Ti consiglio la lettura di questo e quest'altro mio vecchio post.

[PZf]

"Kvashir":$P(1) = 1 = 1*1= 1$

così dovrei aver verificato $P(1)$ esatto?

ora devo dimostrare che è vera per p(n+1)?

Ok, hai verificato la proposizione è vera per $n=1$.
Ora ti manca da dimostrare che dalla verità della proposizione $P(n)$ segue la verità della proposizione $P(n+1)$.
In questo modo avrai completato la dimostrazione per induzione, dato che hai dimostrato che $P(1)$ è vera, poi dalla verità di $P(1)$ segue la verità di $P(2)$, dalla verità di $P(2)$ segue la verità di $P(3)$, e così via. Quindi la proposizione $P(n)$ è vera per qualunque $n$.
Questo è il discorso che si fa a livello intuitivo. I post segnalati da gugo82 lo rendono preciso.

Quindi supponi vero che per un certo $n$ sia $F_1^2+F_2^2+...+F_n^2=F_nF_{n+1}$ e dimostra che in tal caso deve anche valere $F_1^2+F_2^2+...+F_{n+1}^2=F_{n+1}F_{n+2}$.