F[G]-moduli non isomorfi, ma con stesso carattere

[clara41]

Dato un campo $ F $ con caratteristica $ p $, devo trovare due $ F[G]$- moduli che abbiano lo stesso carattere, ma che non siano isomorfi.
L'avere lo stesso carattere equivale a dire che hanno rappresentazioni equivalenti, ovvero esiste $ \sigma $ trasformazione lineare fra i due moduli in questione tale che $ \forall g \in G$ $ \sigma \rho(g)=\rho'(g) \sigma$, dove $ \rho $ e $ \rho' $ sono le due rappresentazioni, ma non riesco a tradurre praticamente la questione.

[Lemniscata1]

Eh mi sa che ti sbagli invece. Da quel poco che ne so (immagino tu stia parlando di rappresentazioni di gruppi $G$ su un campo $F$, o equivalentemente di rappresentazioni dell'algebra gruppale $FG$), il carattere identifica la classe di isomorfismo di una rappresentazione in un campo di caratteristica zero, ma a priori questo non vale in caratteristica $p$. Anche perché se valesse, il tuo esercizio non avrebbe molto senso.

[Lemniscata1]

Un possibile esempio mi pare essere questo.

Prendi $F=\mathbb{Z}_p$, $G$ gruppo ciclico di ordine $p$ generato da $g$, e come rappresentazioni prendi il morfismo identico di $G$ su $\text{GL}_2(F)$ da una parte, e dall'altra il morfismo di $G$ su $\text{GL}_2(F)$ che mappa $g$ nell'automorfismo lineare di $F^2$ che mappa $e_1\mapsto e_1$ e $e_2\mapsto e_1+e_2$, dove $e_1$ ed $e_2$ sono i vettori della base canonica di $F^2$ sul campo $F$.

I caratteri sono uguali in entrambi i casi alla costante $\bar{2}$, ma le due rappresentazioni non sono isomorfe.

Comunque prendila con le pinze questa risposta; anzi, chi ne sa davvero qualcosa dica la sua, per favore.