Fattorizzazione sempre valida
Salve ragazzi,
devo dimostrare che nel caso in cui $(42^n)-1$ sia un numero primo, allora $n$ deve essere per forza dispari.
Inoltre devo farlo attraverso una dimostrazione indiretta (es: se F implica G devo dimostrare che non G implica non F).
Dunque prendo come presupposto che $n$ sia pari ($n=2k$ per ogni k in N) e che dunque $(42^n)-1$ non è un numero primo.
Cercando, tuttavia di dimostrarlo, sono arrivato alla certezza che questo numero sia SEMPRE divisibile per $41$.
Se prendiamo, per esempio, il caso più semplice dove $n=1$ lo vediamo subito.
E questo ragionamento funziona per tutti i numeri di questo genere.
Per esempio $(4^5)-1$ è sicuramente divisibile per $3$ (ma come mai?).
Tuttavia non so come dimostrare questa ipotesi. Qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano?
Grazie in anticipo!
devo dimostrare che nel caso in cui $(42^n)-1$ sia un numero primo, allora $n$ deve essere per forza dispari.
Inoltre devo farlo attraverso una dimostrazione indiretta (es: se F implica G devo dimostrare che non G implica non F).
Dunque prendo come presupposto che $n$ sia pari ($n=2k$ per ogni k in N) e che dunque $(42^n)-1$ non è un numero primo.
Cercando, tuttavia di dimostrarlo, sono arrivato alla certezza che questo numero sia SEMPRE divisibile per $41$.
Se prendiamo, per esempio, il caso più semplice dove $n=1$ lo vediamo subito.
E questo ragionamento funziona per tutti i numeri di questo genere.
Per esempio $(4^5)-1$ è sicuramente divisibile per $3$ (ma come mai?).
Tuttavia non so come dimostrare questa ipotesi. Qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano?
Grazie in anticipo!
Risposte
Penso di esserci arrivato:
Innanzitutto dimostro per induzione che $(42^n)-1$ è sempre divisibile per 41 (tuttavia tale dimostrazione non risponde alla richiesta che ho scritto nella prima frase, ma anzi confuta il fatto che quest'espressione possa portare a un numero primo):
$42^n-1 = 41*k $ per ogni $k in Z$
Lascio a voi l'ancoraggio e ammettiamo subito che valga per tutte le n.
Dunque dimostriamo che vale per n+1:
$42^(n+1) -1$
$42*42^n -1$
$(41+1)*42^n -1$
$41*42^n+42^n -1$
Ora siamo scriviamo: $ 41*42^n =c*41 $
E notiamo: $42^n -1$ dunque ci ricolleghiamo alla nostra tesi:
$c*41+41*k= 41(c+k)$
Cosi abbiamo dimostrato che l'espressione è sempre divisibile per 41.
E questo mi fa venire qualche dubbio alla richiesta dell'esercizio. Ho sbagliato io qualcosa secondo voi, oppure devo lavorare sul fatto che la richiesta, comunque, tiene conto che ci sia la possibilità che l'espressione non restituisca un numero primo?
Innanzitutto dimostro per induzione che $(42^n)-1$ è sempre divisibile per 41 (tuttavia tale dimostrazione non risponde alla richiesta che ho scritto nella prima frase, ma anzi confuta il fatto che quest'espressione possa portare a un numero primo):
$42^n-1 = 41*k $ per ogni $k in Z$
Lascio a voi l'ancoraggio e ammettiamo subito che valga per tutte le n.
Dunque dimostriamo che vale per n+1:
$42^(n+1) -1$
$42*42^n -1$
$(41+1)*42^n -1$
$41*42^n+42^n -1$
Ora siamo scriviamo: $ 41*42^n =c*41 $
E notiamo: $42^n -1$ dunque ci ricolleghiamo alla nostra tesi:
$c*41+41*k= 41(c+k)$
Cosi abbiamo dimostrato che l'espressione è sempre divisibile per 41.
E questo mi fa venire qualche dubbio alla richiesta dell'esercizio. Ho sbagliato io qualcosa secondo voi, oppure devo lavorare sul fatto che la richiesta, comunque, tiene conto che ci sia la possibilità che l'espressione non restituisca un numero primo?
"capozio":
Per esempio $(4^5)-1$ è sicuramente divisibile per $3$ (ma come mai?).
Per lo stesso motivo per cui $x^n-1$ è divisibile per $x-1$.
Alle superiori mi dissero che la differenza tra due quantità elevate allo stesso esponente naturale - ricordo $1=1^n$ per ogni $n$ - per $n\ge 2$ e naturale è sempre divisibile per la differenza delle basi (per $n=1$ è banale il punto).
$x^2-1=x^2-1^2=(x-1)(...)$ (in questo caso il secondo è $(x+1)$, è semplice)
$x^3-1=x^3-1^3=(x-1)(...)$ (in questo caso l'altra quantità è $(x^2+x+1)$ è abbastanza semplice pure qui).
$x^4-1=x^4-1^4=(x-1)(...)$ (in questo caso l'altra quantità è $(x+1)(x^2+1)$ se non erro)...
... etc. Ora ti dico "prodotti notevoli" se farai un cdl di matematica, fisica o informatica ti dirò serie geometrica.
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