Fattorizzazione radici complesse
Salve, non vorrei chiedervi una correzione, ma vorrei sapere se ho ben applicato la formula di De Moivre perchè mi è stato detto che è proprio sbagliata la determinazione della radice su cui lavoro!!! come al solito grazie un'immensità per l'aiuto
Risposte
....
ah... ecco quindi basta porre z radice di i e poi il calcolo segue come ho fatto io! è un errore di notazione o di concetto?
EDIT: Abbiamo scritto una stupidata sia io sia te, scusa! La mia più grossa della tua, però.
2 EDIT: Avevo scritto una cosa giusta, ma nella mia testa avevo idee sbagliate. Per farmi perdonare tra poco posterò tutto.
Devo calcolare i numeri complessi $z$ per cui $z^4+1=0$, ossia $z^4=-1$. Ciò significa che mi interessano le radici quarte di -1.
Dalla teoria sappiamo che le radici n-esime di un numero complesso (distinte) sono esattamente n: quindi in questo caso sono 4.
Le radici quarte di un numero complesso $alpha$ sono di questo tipo:
$beta$, cioè una radice quarta opportuna
$beta\ (cos(2 pi/4)+ i sin(2 pi/4))=beta\ (cos(pi/2)+ i sin(pi/2))=i beta$
$beta\ cos(4 pi/4)+ i sin(4 pi/4)=beta\ (cos(pi)+ i sin(pi))=-beta$
$beta\ cos(6 pi/4)+ i sin(6 pi/4)=beta\ (cos(3 pi/2)+ i sin(3 pi/2))=-i beta$
Evidentemente posso prendere $beta=sqrt(i)=sqrt(2)/2+i sqrt(2)/2$ (è una radice quarta di -1), così, in definitiva le radici quarte di -1 sono:
$sqrt(2)/2+i sqrt(2)/2$
$sqrt(2)/2-i sqrt(2)/2$
$-sqrt(2)/2-i sqrt(2)/2$
$-sqrt(2)/2+i sqrt(2)/2$
Ma forse, guardando i risultati, eccetto per eventuali notazioni diverse hai fatto bene... a parte quella riga in cui c'è il modulo di z, in cui è oggettivamente spiegato male. Mi sa che sono io che non ho compreso bene bene che procedimento hai utilizzato.
P.S.: Osservazione banale. Qui non c'è bisogno di scomodare De Moivre e company:
$z^4+1=0$ $=>$ $(z^2-i)(z^2+i)=(z-sqrt(i))(z+sqrt(i))(z^2+i)$
Dalla teoria sappiamo che le radici n-esime di un numero complesso (distinte) sono esattamente n: quindi in questo caso sono 4.
Le radici quarte di un numero complesso $alpha$ sono di questo tipo:
$beta$, cioè una radice quarta opportuna
$beta\ (cos(2 pi/4)+ i sin(2 pi/4))=beta\ (cos(pi/2)+ i sin(pi/2))=i beta$
$beta\ cos(4 pi/4)+ i sin(4 pi/4)=beta\ (cos(pi)+ i sin(pi))=-beta$
$beta\ cos(6 pi/4)+ i sin(6 pi/4)=beta\ (cos(3 pi/2)+ i sin(3 pi/2))=-i beta$
Evidentemente posso prendere $beta=sqrt(i)=sqrt(2)/2+i sqrt(2)/2$ (è una radice quarta di -1), così, in definitiva le radici quarte di -1 sono:
$sqrt(2)/2+i sqrt(2)/2$
$sqrt(2)/2-i sqrt(2)/2$
$-sqrt(2)/2-i sqrt(2)/2$
$-sqrt(2)/2+i sqrt(2)/2$
Ma forse, guardando i risultati, eccetto per eventuali notazioni diverse hai fatto bene... a parte quella riga in cui c'è il modulo di z, in cui è oggettivamente spiegato male. Mi sa che sono io che non ho compreso bene bene che procedimento hai utilizzato.
P.S.: Osservazione banale. Qui non c'è bisogno di scomodare De Moivre e company:
$z^4+1=0$ $=>$ $(z^2-i)(z^2+i)=(z-sqrt(i))(z+sqrt(i))(z^2+i)$
ok ti ringrazio tantissimo.... eviterò il modulo e dirò solamente che devo fare la radice quarta di -1!!!
ps
scomodo de moivre perchè a certi professori piacciono che le cose siano fatte secondo dogmi inviolabili per il mio questo dogma consiste nel risolvere l'esercizio con de moivre così come fare i limiti con taylor... ha le sue fisse insomma!!!
ps
scomodo de moivre perchè a certi professori piacciono che le cose siano fatte secondo dogmi inviolabili per il mio questo dogma consiste nel risolvere l'esercizio con de moivre così come fare i limiti con taylor... ha le sue fisse insomma!!!
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