Fattorizzazione polinomio su R e su Q
Ciao a tutti, ho un dubbio che vorrei chiarire. Stavo svolgendo il seguente esercizio:
Fattorizzare su $R[x]$, $Q[x]$, $Z_3[x]$ e $Z_13[x]$ il seguente polinomio:
$p(x) = x^4+4x^3-19x^2+8x-42$
ho iniziato la fattorizzazione su $Q[x]$, tenendo a mente che se fosse stato fattorizzabile, allora lo sarebbe stato anche su $R[x]$.
Il risultato è il seguente:
siccome $3|42$ e $p(3)=0$, effettuo la divisione tra $p(x)$ e $x-3$, ottenendo:
$(x-3)(x^3+7x^2+2x+14)$
ora posso scomporre il polinomio di terzo grado applicando semplicemente Ruffini:
$(x-3)(x+7)(x^2+2)$
Il polinomio $(x^2-2)$ non è fattorizzabile su $Q[x]$, dunque quella sopra riportata è la fattorizzazione "definitiva".
Ora devo fattorizzarlo anche su $R[x]$, ma... non c'è niente di diverso! La fattorizzazione è la medesima, e anche il procedimento! Ora non so se è una coincidenza o mi son perso qualcosa... Chiedo aiuto a voi!
Per completezza riporto anche la fattorizzazione su $Z_3[x]$, e il mio altro dubbio sulla fattorizzazione in $Z_13[x]$:
in $Z_3[x]$ avrò:
$p(x) = x^4+x^3+2x^2+2x$ , ovvero: $x(x^3+x^2+2x+2)$ . Applicando Ruffini: $x(x+1)(x^2+2)$.
Ora in $Z_13[x]$ avrò:
$p(x) = x^4+4x^3-6x^2+8x-3$ . Come devo procedere? Devo provare tutti i valori da 0 a 12 e vedere dove si annulla il polinomio? Non è un metodo un po "poco elegante" ed inefficiente?
Fattorizzare su $R[x]$, $Q[x]$, $Z_3[x]$ e $Z_13[x]$ il seguente polinomio:
$p(x) = x^4+4x^3-19x^2+8x-42$
ho iniziato la fattorizzazione su $Q[x]$, tenendo a mente che se fosse stato fattorizzabile, allora lo sarebbe stato anche su $R[x]$.
Il risultato è il seguente:
siccome $3|42$ e $p(3)=0$, effettuo la divisione tra $p(x)$ e $x-3$, ottenendo:
$(x-3)(x^3+7x^2+2x+14)$
ora posso scomporre il polinomio di terzo grado applicando semplicemente Ruffini:
$(x-3)(x+7)(x^2+2)$
Il polinomio $(x^2-2)$ non è fattorizzabile su $Q[x]$, dunque quella sopra riportata è la fattorizzazione "definitiva".
Ora devo fattorizzarlo anche su $R[x]$, ma... non c'è niente di diverso! La fattorizzazione è la medesima, e anche il procedimento! Ora non so se è una coincidenza o mi son perso qualcosa... Chiedo aiuto a voi!
Per completezza riporto anche la fattorizzazione su $Z_3[x]$, e il mio altro dubbio sulla fattorizzazione in $Z_13[x]$:
in $Z_3[x]$ avrò:
$p(x) = x^4+x^3+2x^2+2x$ , ovvero: $x(x^3+x^2+2x+2)$ . Applicando Ruffini: $x(x+1)(x^2+2)$.
Ora in $Z_13[x]$ avrò:
$p(x) = x^4+4x^3-6x^2+8x-3$ . Come devo procedere? Devo provare tutti i valori da 0 a 12 e vedere dove si annulla il polinomio? Non è un metodo un po "poco elegante" ed inefficiente?
Risposte
Hai un poliniomio a coefficienti interin che hai già fattorizzato sull'anello degli interi. Puoi partire da tale scomposizione. Quindi ti resta solo da fattorizzare $ x^2+2$.
Ah ok, quindi posso tenere per buona la scomposizione fatta su $Q[x]$ e vedere se in $Z_3[x]$, $Z_13[x]$ o $R[x]$ $x^2+2$ è ulteriormente scomponibile? Quindi non è corretta la scomposizione che ho fatto su $R_3[x]$ ? O è solo "un'altra" scomposizione?
Si. Quello che hai fatto è corretto, ma non era necessario ripetere tutti i calcoli.
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