Fattorizzazione polinomio di grado k>=1
Buongiorno ragazzi, sto preparando un esame di serie storiche avanzate. Nella spiegazione dell'operatore ritardo $ A(L)=(1-aL) $ , il libro di testo descrive un passaggio che non mi è del tutto chiaro, in part quando, nel fattorizzare il polinomio non capisco come mai gli $ a_i $ mi diventano il reciproco di $ z_i $ complessi. Per favore qualcuno è così gentile da spiegarmi come ci si arriva da questa $ A(L)=1+{:a:}_(1) text(L)+{:a:}_(2) text(L)^(2) +...+ {:a:}_(k) text(L)^(k)= $ a questa? $ A(L)=(1-1/z_1 L)(1-1/z_2 L) ... (1-1/z_k L)=prod_(i = 1)^(k) (1-1/z_i L) $
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
Non è la sezione corretta.
Se \(\displaystyle a_{0}=1 \) puoi esprimere
come prodotto di \(\displaystyle k \) polinomi di primo grado:
I coefficienti \(\displaystyle \lambda_{i} \) sono i repciproci delle radici di \(\displaystyle A(L) \) (cioè \(\displaystyle \frac{1}{z_i} \) ) e quindi quei valori per cui \(\displaystyle A(\frac{1}{\lambda_{i}})=0 \).
E' un risultato importante perché unito al fatto che \(\displaystyle (1+aL+a^{2}L^{2 }+...)=(1-aL)^{-1} \)[nota]che è evidentemente una Taylor-type expansion[/nota] (se e solo se \(\displaystyle |a|<1 \)) consente di invertire polinomi in $L$ di qualunque grado e questo ti dà la possibilità e.g di rappresentare i processi \(\displaystyle ARMA \) come \(\displaystyle MA(\infty) \) o in alternativa come \(\displaystyle AR(\infty) \)
Se \(\displaystyle a_{0}=1 \) puoi esprimere
\(\displaystyle A(L)=\sum_{i = 0}^{k}a_{i}L^{i} \)
come prodotto di \(\displaystyle k \) polinomi di primo grado:
\(\displaystyle A(L)= \prod_{i = 1}^{k}(1- \lambda_{i}L) \)
I coefficienti \(\displaystyle \lambda_{i} \) sono i repciproci delle radici di \(\displaystyle A(L) \) (cioè \(\displaystyle \frac{1}{z_i} \) ) e quindi quei valori per cui \(\displaystyle A(\frac{1}{\lambda_{i}})=0 \).
E' un risultato importante perché unito al fatto che \(\displaystyle (1+aL+a^{2}L^{2 }+...)=(1-aL)^{-1} \)[nota]che è evidentemente una Taylor-type expansion[/nota] (se e solo se \(\displaystyle |a|<1 \)) consente di invertire polinomi in $L$ di qualunque grado e questo ti dà la possibilità e.g di rappresentare i processi \(\displaystyle ARMA \) come \(\displaystyle MA(\infty) \) o in alternativa come \(\displaystyle AR(\infty) \)
[xdom="Martino"]È una fattorizzazione di un polinomio, va bene nella sezione di algebra.[/xdom]
Ok. Grazie. Allora ricapitolando... Io ho in partenza un polinomio in L (operatore ritardo) $ A(L)=1+a_(1)L+a_(2)L^(2)+...+a_(k)L^(k) $. Dove $ 1=a_(0) $. Tale polinomio in forma compatta è $ A(L)=sum_(j=0)^(k)a_(j)L^(j) $;
supp. $ k $ sia $ infty $ allora
$ A(L)=sum_(j=0)^(infty)a_(j)L^(j) $.
Con $ j=1 $ risulta:
$ A(L)=1+a_(1)L $ posto $ a_(1)=-a $:
$ A(L)=1-aL $ per il TFA tale polinomio ammette uno zero $ 1/a $. Tale polinomio fattorizzato $ (1-1/a L) $.
Con $ j=2 $ risulta: $ (1-1/a L) (1-1/a L) $ due radici
Con $ j=k $ risulta: $ prod_(j = 1)^(k) (1-1/a_(j)L) $ o $ z_(i) $ nell'insieme del numeri complessi. Giusto?
supp. $ k $ sia $ infty $ allora
$ A(L)=sum_(j=0)^(infty)a_(j)L^(j) $.
Con $ j=1 $ risulta:
$ A(L)=1+a_(1)L $ posto $ a_(1)=-a $:
$ A(L)=1-aL $ per il TFA tale polinomio ammette uno zero $ 1/a $. Tale polinomio fattorizzato $ (1-1/a L) $.
Con $ j=2 $ risulta: $ (1-1/a L) (1-1/a L) $ due radici
Con $ j=k $ risulta: $ prod_(j = 1)^(k) (1-1/a_(j)L) $ o $ z_(i) $ nell'insieme del numeri complessi. Giusto?
Ok.
Un appunto: il polinomio caratteristico è \(\displaystyle \frac{1}{(1-az)}\), $L$ è un operatore; lo sostituisci con la variabile complessa $z$ per poter definirne l’equazione caratteristica e trovarne la radici.
Un appunto: il polinomio caratteristico è \(\displaystyle \frac{1}{(1-az)}\), $L$ è un operatore; lo sostituisci con la variabile complessa $z$ per poter definirne l’equazione caratteristica e trovarne la radici.
Ok. Grazie mille
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