Fattorizzazione polinomio
Sto facendo un esercizio sui campi di spezzamento e mi sono ritrovato a fattorizzare il seguente polinomio:[tex]$p(x)=x^3-5x-5$[/tex] (irriducibile su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] per il criterio di Eisenstein).
Ho provato in vari modi, ma tutto quel che sono riuscito a determinare è che ha una radice reale e due non reali.
Ho scritto il polinomio allora nella [tex]$(x-a)(x^2-2\alpha x + \alpha^2+\beta^2)$[/tex] con [tex]$a, \alpha \pm i\beta$[/tex] radici del polinomio e l'ho eguagliato a [tex]$p(x)$[/tex], riconducendomi un sistema, ma non vado comunque da alcuna parte.
Ho diviso il polinomio, tentando di capire quando il resto potesse annullarsi, ma non si vede a occhio.
Qualcuno ha qualche idea?
Ho provato in vari modi, ma tutto quel che sono riuscito a determinare è che ha una radice reale e due non reali.
Ho scritto il polinomio allora nella [tex]$(x-a)(x^2-2\alpha x + \alpha^2+\beta^2)$[/tex] con [tex]$a, \alpha \pm i\beta$[/tex] radici del polinomio e l'ho eguagliato a [tex]$p(x)$[/tex], riconducendomi un sistema, ma non vado comunque da alcuna parte.
Ho diviso il polinomio, tentando di capire quando il resto potesse annullarsi, ma non si vede a occhio.
Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Ciao.
Guarda, secondo me sei sulla buona strada. Il massimo che puoi fare è esprimere le radici complesse in funzione di quella reale.
E lo fai proprio così come stai facendo tu: detta [tex]$a$[/tex] la radice reale, fattorizzi il polinomio come [tex]$(x-a)(x^2+bx+c)$[/tex] e usando il principio di identità dei polinomi trovi [tex]$b,c$[/tex] in funzione di [tex]$a$[/tex]. A quel punto ti basta controllare se quei valori stiano o meno in [tex]$\mathbb{Q}(a)$[/tex]: se ci stanno allora il c.r.c. del tuo polinomio ha grado 3 sui razionali, se no ha grado 6 perchè prodotto di un'estensione di terzo grado e di una quadratica.
Spero di averti aiutato e di non aver detto scemenze
Guarda, secondo me sei sulla buona strada. Il massimo che puoi fare è esprimere le radici complesse in funzione di quella reale.
E lo fai proprio così come stai facendo tu: detta [tex]$a$[/tex] la radice reale, fattorizzi il polinomio come [tex]$(x-a)(x^2+bx+c)$[/tex] e usando il principio di identità dei polinomi trovi [tex]$b,c$[/tex] in funzione di [tex]$a$[/tex]. A quel punto ti basta controllare se quei valori stiano o meno in [tex]$\mathbb{Q}(a)$[/tex]: se ci stanno allora il c.r.c. del tuo polinomio ha grado 3 sui razionali, se no ha grado 6 perchè prodotto di un'estensione di terzo grado e di una quadratica.
Spero di averti aiutato e di non aver detto scemenze
In realtà dei polinomi irriducibili a coefficienti razionali con esattamente due radici non reali sappiamo dire un sacco di cose. Il loro gruppo di Galois [tex]G[/tex] deve contenere una trasposizione. Poi siccome [tex]p(x)[/tex] è irriducibile allora sappiamo che [tex]\deg(p(x))[/tex] deve dividere [tex]|G|[/tex].
Nel nostro caso [tex]p(x)[/tex] ha per grado un numero primo; una semplice applicazione del teorema di Cauchy mostra che deve esistere in [tex]G[/tex] un elemento di ordine [tex]3[/tex], ossia, potendo immergere [tex]G \hookrightarrow \mathcal S_3[/tex], un [tex]3[/tex]-ciclo. Ma allora [tex]G[/tex] contiene una trasposizione ed un [tex]3[/tex]-ciclo; segue che [tex]G = \mathcal S_3[/tex]. In particolare [tex]|G| = 6[/tex] e quindi il campo di spezzamento ha grado 6 su [tex]\mathbb Q[/tex].
Nel nostro caso [tex]p(x)[/tex] ha per grado un numero primo; una semplice applicazione del teorema di Cauchy mostra che deve esistere in [tex]G[/tex] un elemento di ordine [tex]3[/tex], ossia, potendo immergere [tex]G \hookrightarrow \mathcal S_3[/tex], un [tex]3[/tex]-ciclo. Ma allora [tex]G[/tex] contiene una trasposizione ed un [tex]3[/tex]-ciclo; segue che [tex]G = \mathcal S_3[/tex]. In particolare [tex]|G| = 6[/tex] e quindi il campo di spezzamento ha grado 6 su [tex]\mathbb Q[/tex].
Figo 
Avrei solo una domanda. Credo che la risposta sia affermativa, ma in questi tempi di esami vengono dubbi su tutto. Vale anche il viceversa di quello che hai detto?
In altre parole, è vera questa
Proposizione. Sia [tex]p(x) \in \mathbb{Q}[x][/tex] un polinomio irriducibile di terzo grado. Siano [tex]$G$[/tex] e [tex]$\mathbb{K}$[/tex] rispettivamente il gruppo di Galois e il campo di spezzamento di [tex]$p(x)$[/tex]. Allora:
Avrei solo una domanda. Credo che la risposta sia affermativa, ma in questi tempi di esami vengono dubbi su tutto. Vale anche il viceversa di quello che hai detto?
In altre parole, è vera questa
Proposizione. Sia [tex]p(x) \in \mathbb{Q}[x][/tex] un polinomio irriducibile di terzo grado. Siano [tex]$G$[/tex] e [tex]$\mathbb{K}$[/tex] rispettivamente il gruppo di Galois e il campo di spezzamento di [tex]$p(x)$[/tex]. Allora:
[*:1p6b9ah7] [tex]p(x)[/tex] ha una sola radice reale [tex]\Leftrightarrow G= S_3 \Leftrightarrow [\mathbb{K}:\mathbb{Q}]= 6[/tex][/*:m:1p6b9ah7]
[*:1p6b9ah7] [tex]p(x)[/tex] ha tre radici reali [tex]\Leftrightarrow G= A_3 \Leftrightarrow [\mathbb{K}:\mathbb{Q}]= 3[/tex][/*:m:1p6b9ah7][/list:u:1p6b9ah7]
Grazie
Ho dovuto controllare... i ricordi tendono a svanire se non li si usa per tanto tempo!
La risposta è sì. La richiesta che il polinomio sia irriducibile fa sì che quelle che hai considerato siano le uniche due possibilità per il gruppo di Galois. A questo punto sappiamo anche che [tex]G = A_3[/tex] se e solo se [tex]D(f)[/tex] è un quadrato in [tex]\mathbb Q[/tex], dove [tex]D(f)[/tex] è il discriminante. Ora se [tex]D[/tex] è un quadrato allora [tex][K:\mathbb Q] = |A_3| = 3[/tex] e pertanto [tex]K = \mathbb Q(\alpha)[/tex], dove [tex]\alpha[/tex] è una qualsiasi radice di [tex]f[/tex] (quindi siccome c'è sempre almeno una radice reale, segue che sono tutte reali). Se invece [tex]\sqrt{D} \not \in \mathbb Q[/tex] allora [tex][K: \mathbb Q] = 6[/tex]; ora, guarda caso [tex][\mathbb Q (\alpha, \sqrt{D}) : \mathbb Q] = 6[/tex] e quindi da [tex]\mathbb Q (\alpha, \sqrt{D}) \subseteq \mathbb K[/tex] segue [tex]K = \mathbb Q (\alpha, \sqrt{D})[/tex]. Ora, abbiamo detto che [tex]\sqrt{D} \not \in \mathbb Q[/tex] e quindi le radici di [tex]p[/tex] non possono essere tutte reali. Segue che ce ne sono esattamente due complesse.
Da notare come nel mio primo ragionamento non ci importasse granché di [tex]3[/tex], se non per la sua proprietà di essere primo. In questo secondo discorso, invece, abbiamo utilizzato pesantemente il fatto che [tex]3[/tex] sia un numero così "piccolo".
La risposta è sì. La richiesta che il polinomio sia irriducibile fa sì che quelle che hai considerato siano le uniche due possibilità per il gruppo di Galois. A questo punto sappiamo anche che [tex]G = A_3[/tex] se e solo se [tex]D(f)[/tex] è un quadrato in [tex]\mathbb Q[/tex], dove [tex]D(f)[/tex] è il discriminante. Ora se [tex]D[/tex] è un quadrato allora [tex][K:\mathbb Q] = |A_3| = 3[/tex] e pertanto [tex]K = \mathbb Q(\alpha)[/tex], dove [tex]\alpha[/tex] è una qualsiasi radice di [tex]f[/tex] (quindi siccome c'è sempre almeno una radice reale, segue che sono tutte reali). Se invece [tex]\sqrt{D} \not \in \mathbb Q[/tex] allora [tex][K: \mathbb Q] = 6[/tex]; ora, guarda caso [tex][\mathbb Q (\alpha, \sqrt{D}) : \mathbb Q] = 6[/tex] e quindi da [tex]\mathbb Q (\alpha, \sqrt{D}) \subseteq \mathbb K[/tex] segue [tex]K = \mathbb Q (\alpha, \sqrt{D})[/tex]. Ora, abbiamo detto che [tex]\sqrt{D} \not \in \mathbb Q[/tex] e quindi le radici di [tex]p[/tex] non possono essere tutte reali. Segue che ce ne sono esattamente due complesse.
Da notare come nel mio primo ragionamento non ci importasse granché di [tex]3[/tex], se non per la sua proprietà di essere primo. In questo secondo discorso, invece, abbiamo utilizzato pesantemente il fatto che [tex]3[/tex] sia un numero così "piccolo".
Ti ringrazio molto per la risposta che è chiarissima. Concordo con te, la memoria è tremenda e spesso è difficile ricordare tutto per bene.
P.S: Ti ricordi di questo? Avevamo parlato proprio di queste cose.
P.S: Ti ricordi di questo? Avevamo parlato proprio di queste cose.
Adesso che lo vedo mi ricordo. All'epoca non avevo ben interiorizzato il procedimento di Martino, ma immagino che qualche mese di sedimentazione abbia il suo peso! 
Avete riempito il topic di cose interessantissime. Faccio un po' di fatica a capire la risposta di Maurer perché ho appena iniziato a studiare il gruppo di Galois.
Grazie a entrambi per le risposte!
Grazie a entrambi per le risposte!
Sì, dipende dal punto in cui sei della teoria. Certi esercizi che ti vengono proposti all'inizio e sono eterni, diventano brevissimi non appena si acquisiscono le tecniche della teoria di Galois...
Questa mia precedente affermazione è errata:
La proposizione, enunciata così, è falsa. Ora non ho tempo di sistemare tutti i dettagli: ho visto che un possibile controesempio è dato da [tex]$p(X)=X^3-4X+2$[/tex] che ha tre radici reali ma, essendo [tex]$D(f)=148$[/tex], il suo gruppo di Galois è tutto [tex]$\mathcal{S}_3$[/tex].
Evidentemente, l'unica possibile classificazione è quella che fa uso del discriminante. Spero un giorno con più calma di riuscire a tornare sull'argomento per approfondimenti.
"Paolo90":
Proposizione. Sia [tex]p(x) \in \mathbb{Q}[x][/tex] un polinomio irriducibile di terzo grado. Siano [tex]$G$[/tex] e [tex]$\mathbb{K}$[/tex] rispettivamente il gruppo di Galois e il campo di spezzamento di [tex]$p(x)$[/tex]. Allora:
[*:2s7hc669] [tex]p(x)[/tex] ha una sola radice reale [tex]\Leftrightarrow G= S_3 \Leftrightarrow [\mathbb{K}:\mathbb{Q}]= 6[/tex][/*:m:2s7hc669]
[*:2s7hc669] [tex]p(x)[/tex] ha tre radici reali [tex]\Leftrightarrow G= A_3 \Leftrightarrow [\mathbb{K}:\mathbb{Q}]= 3[/tex][/*:m:2s7hc669][/list:u:2s7hc669]
La proposizione, enunciata così, è falsa. Ora non ho tempo di sistemare tutti i dettagli: ho visto che un possibile controesempio è dato da [tex]$p(X)=X^3-4X+2$[/tex] che ha tre radici reali ma, essendo [tex]$D(f)=148$[/tex], il suo gruppo di Galois è tutto [tex]$\mathcal{S}_3$[/tex].
Evidentemente, l'unica possibile classificazione è quella che fa uso del discriminante. Spero un giorno con più calma di riuscire a tornare sull'argomento per approfondimenti.
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