Fattorizzazione interi di Gauss e ideali principali!
Buonasera a tutti!
Mentre svolgevo degli esercizi sugli anelli mi sono imbattuto negli interi di Gauss e mi sono accorto che non riesco a fattorizzare un tale intero!
In particolare mi chiede di fattorizzare $a = 14 - 2i, b = 4 -22i$ ma non so cosa devo fare!!
Ho letto in giro che c'entra la norma, ma come la devo utilizzare?
E poi successivamente mi chiede di trovare l'MCD(a,b) e l'mcm(a,b) e questo penso che una volta fattorizzato non dovrà essere difficile..
E poi un ultimo dubbio su un esercizio totalmente diverso:
Si consideri l'anello Q[X] e i sottoinsiemi: $A = {f(x) \in Q[x] | f'(sqrt3) = 0}$ e $J = {f(x) \in Q[x] | f(sqrt3) = f'(sqrt3) = 0) } $. (f' è la derivata prima)
Si verifica facilmente che A è un sottanello di Q[x] e J un ideale sia di A che di Q[X].
Ora dopo aver trovaro il generatore di J in Q[X] mi chiede se J è principale anche in A, ma come faccio a rispondere a questa domanda? Esiste qualche teorema che mi può aiutare?
Cioè io so che è principale in Q[x] perchè Q[X] è un dominio euclideo quindi è anche un PID ma di A cosa posso sapere?
Mentre svolgevo degli esercizi sugli anelli mi sono imbattuto negli interi di Gauss e mi sono accorto che non riesco a fattorizzare un tale intero!
In particolare mi chiede di fattorizzare $a = 14 - 2i, b = 4 -22i$ ma non so cosa devo fare!!
Ho letto in giro che c'entra la norma, ma come la devo utilizzare?
E poi successivamente mi chiede di trovare l'MCD(a,b) e l'mcm(a,b) e questo penso che una volta fattorizzato non dovrà essere difficile..
E poi un ultimo dubbio su un esercizio totalmente diverso:
Si consideri l'anello Q[X] e i sottoinsiemi: $A = {f(x) \in Q[x] | f'(sqrt3) = 0}$ e $J = {f(x) \in Q[x] | f(sqrt3) = f'(sqrt3) = 0) } $. (f' è la derivata prima)
Si verifica facilmente che A è un sottanello di Q[x] e J un ideale sia di A che di Q[X].
Ora dopo aver trovaro il generatore di J in Q[X] mi chiede se J è principale anche in A, ma come faccio a rispondere a questa domanda? Esiste qualche teorema che mi può aiutare?
Cioè io so che è principale in Q[x] perchè Q[X] è un dominio euclideo quindi è anche un PID ma di A cosa posso sapere?
Risposte
Mh nessuna risposta...
La fattorizzazione è un problema che ho anche io. Io me la caverei in questo modo: [tex]14-7i=2(7-i)=-i(1+i)^2(7-i)[/tex]. Se [tex]\nu[/tex] è la valutazione di [tex]\mathbb{Z}[/tex], si ha che [tex]\nu (7-i)=50=5^2\cdot 2[/tex]. Il fattore 5 nella norma può provenire da: [tex]1+2i,\ 1-2i[/tex] o gli associati a questi (cioè moltiplicati per gli elementi unitari [tex]1,-1,i,-i[/tex]). Avremo due di questi fattori perchè nella fattorizzazione della norma compare [tex]5^2[/tex]; quello che si può osservare è che questi due fattori non possono essere distinti, altrimenti nella fattorizzazione dell'intero di Gauss [tex]7-i[/tex] comparirebbe un fattore associato a [tex](1-2i)(1+2i)=5[/tex], che, in effetti, non compare. Troveremo dunque [tex](1-2i)^2=-3-4i[/tex] oppure [tex](1+2i)^2=-3+4i[/tex]. Il fattore 2 nella norma può provenire da: [tex]1+i[/tex] o gli associati. A questo punto non so far altro che procedere per tentativi...
[tex]\\(-3+4i)(1-i)=-3+3i+4i+4=1+7i=i(7-i) \Rightarrow\\ \Rightarrow 7-i=-i(-3+4i)(1-i)=(1+2i)^2(-1-i)[/tex]
In conclusione [tex]14-2i=i(1+i)^3(1+2i)^2[/tex].
Mi piacerebbe se qualcun altro desse un suo parere per capire se questo è un buon metodo (non mi pare che lo sia, perchè comporta il dover fare un po' di calcoli se ci sono tanti fattori nella norma...)
[tex]\\(-3+4i)(1-i)=-3+3i+4i+4=1+7i=i(7-i) \Rightarrow\\ \Rightarrow 7-i=-i(-3+4i)(1-i)=(1+2i)^2(-1-i)[/tex]
In conclusione [tex]14-2i=i(1+i)^3(1+2i)^2[/tex].
Mi piacerebbe se qualcun altro desse un suo parere per capire se questo è un buon metodo (non mi pare che lo sia, perchè comporta il dover fare un po' di calcoli se ci sono tanti fattori nella norma...)
Ho dimenticato di specificare che quelli trovati prima erano effettivamente primi di Gauss, sono del tipo [tex]a+ib[/tex] con a e b non nulli e hanno come norma un primo.
Mh ho ancora qualche dubbio, vediamo se riesco a buttare giù il mio pensiero...
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