Fattorizzazione in primi di interi
Si dimostri che, $AA n in NN$, esistono infiniti interi che si fattorizzano nel prodotto di $n$ numeri primi distinti.
Risposte
Sia $(p_r)$ una enumerazione dei primi; allora gli interi $p_1 p_2 \cdots p_n, p_2 p_3 \cdots p_{n+1}, \ldots, p_r p_{r+1} \cdots p_{r+n-1}, \ldots$, sono infiniti e soddisfano i requisiti richiesti.
Io pensavo a questo:
Per $n=1$ è il teorema di Euclide (esistono infiniti numeri primi).
Sia vero per $n in NN$, cioè abbiamo infiniti interi del tipo $x=prod_(i=1)^np_i$. Definiamo $k_p=min{p in P$ | $p$ non divide $x}$ ($k$ esiste in virtù del buon ordinamento di $NN$). E' chiaro che l'intero $xk_p$ è prodotto di $n+1$ fattori primi distinti, inoltre $x!=y => xk_p!=yk_q$ (per il teorema fondamentale dell'aritmetica...). Quest'ultimo fatto ci assicura la validità della tesi per $n+1$.
Per $n=1$ è il teorema di Euclide (esistono infiniti numeri primi).
Sia vero per $n in NN$, cioè abbiamo infiniti interi del tipo $x=prod_(i=1)^np_i$. Definiamo $k_p=min{p in P$ | $p$ non divide $x}$ ($k$ esiste in virtù del buon ordinamento di $NN$). E' chiaro che l'intero $xk_p$ è prodotto di $n+1$ fattori primi distinti, inoltre $x!=y => xk_p!=yk_q$ (per il teorema fondamentale dell'aritmetica...). Quest'ultimo fatto ci assicura la validità della tesi per $n+1$.
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