Fattorizzazione di polinomi in R[x]

[Francesco Pasutto]

buona sera a tutti.
devo ridurre il polinomio x^4+x^3+x^2+x+1 in R[x].
per far ciò posso trovare le radici in C e accoppiarle fra coniugate, ma viene lunga ed espresso trigonometricamente.
c'è un metodo più veloce e semplice per fattorizzarlo?
grazie!

[Francesco Pasutto]

qualcuno gentilmente ha qalche idea?

[ludovica.sarandrea]

Ti suggerirei Ruffini ma in questo caso non si trova uno zero con questo metodo. Hai provato a vedere se è irriducibile prima di tentare di scomporlo?

[otta96]

Guarda se questo ti aiuta: $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^5-1)/(x-1)$.

[killing_buddha]

E' un polinomio ciclotomico, non è già irriducibile su $QQ$? Che poi non abbia radici reali è un teorema, penso ci voglia della fatica per dimostrarlo; magari ti aiuta andare a vedere nella pagina dedicata se c'è qualche relazione o equazione che ti illumina http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html

[Francesco Pasutto]

è riducibile in R perchè è di 4 grado. so quali sono le radici in C e che se lo moltiplico per x-1 mi da x^5-1. le radici in C le so trovare, quindi moltiplicando i coniugati trovo i fattori in R. che sono P1(x)=(x-cos2/5pi-isen2/5pi)*(x-cos8/5pi-isen8/5pi) e P2(x)=(x-cos 4/5pi - isen4/5pi)*(x-cos6/5pi-isen6/5pi).
la fattorizzazione la si può fare solo in R non in Q.
La mia domanda era solo su come fare a fattorizzare senza trovare le radici in C

[killing_buddha]

è riducibile in R perchè è di 4 grado

Nah! $X^4+1$ mica è riducibile.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Come no?

[tex]X^4+1=(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)[/tex]

[killing_buddha]

Aha, ho capito, è riducibile perché accoppi le radici complesse coniugate e vengono coefficienti reali!

[Francesco Pasutto]

esatto. gli unici polinomi in R irriducibili sono quelli di grado 1 e di grado due con delta negativo

[killing_buddha]

Certo, sì.