Famiglia di insiemi
Buongiorno,
Per famiglia di insieme si intende una applicazione che va da $I$ in un insieme di insieme.
(Correggetemi se sbaglio)
Quindi per un insieme di insieme posso considerare l'insieme delle parti di un dato insieme $S$, cioè $P(S)={X| subseteq S}$, quindi la seguente funzione $f:i in I to f_i=X_i in P(S)$ allora $f$ è una famiglia di insieme.
Mi chiedo ma $X_i$ dovrebbe essere definito?
Ciao
Per famiglia di insieme si intende una applicazione che va da $I$ in un insieme di insieme.
(Correggetemi se sbaglio)
Quindi per un insieme di insieme posso considerare l'insieme delle parti di un dato insieme $S$, cioè $P(S)={X| subseteq S}$, quindi la seguente funzione $f:i in I to f_i=X_i in P(S)$ allora $f$ è una famiglia di insieme.
Mi chiedo ma $X_i$ dovrebbe essere definito?
Ciao
Risposte
Non comprendo molto ciò che intendi dire, forse ci sono errori nella notazione. Vuoi definire una famiglia (indicizzata) di insiemi come una famiglia (indicizzata) di sottoinsiemi? A seconda del problema questo può o meno avere senso.
Ciao vict85,
volevo far chiarezza sul concetto di famiglia di insiemi, sul libro viene definita nella seguente maniera "forse prima sono stato poco chiaro"
Definizione:
Sia $(S_i)_(i in I)$ una famiglia di insiemi, cioè una applicazione di $I$ in un insieme di insiemi.
Ora vorrei far un esempio di famiglia di insiemi, quindi considero la seguente applicazione $ f:i in I to f_i=X_i in P(S) $
Il punto è:
$f$ è una famiglia di insiemi,
$f$ è ben definita
Ciao.
volevo far chiarezza sul concetto di famiglia di insiemi, sul libro viene definita nella seguente maniera "forse prima sono stato poco chiaro"
Definizione:
Sia $(S_i)_(i in I)$ una famiglia di insiemi, cioè una applicazione di $I$ in un insieme di insiemi.
Ora vorrei far un esempio di famiglia di insiemi, quindi considero la seguente applicazione $ f:i in I to f_i=X_i in P(S) $
Il punto è:
$f$ è una famiglia di insiemi,
$f$ è ben definita
Ciao.
\(\wp(S)\) per un qualche insieme \(S\) è un insieme di insiemi. Quindi ogni funzione \(I\to \wp(S)\) definisce una famiglia di insiemi.
Ok grazie vict85, ti volevo chiedere un'altra cosa;
una partizione $F$ di un insieme $S$ è un insieme di insiemi, quindi una volta che ho una partizione di un insieme "Teorema fondamentale " esiste un'unica relazione di equivalenza $R_F$ tale che $F=S/R_F$, quindi posso considerare l'applicazione $\pi : i in I \ to \ \pi(i) in F=S/(R_F)$
Quindi anche $pi$ definisce una famiglia di insiemi.
una partizione $F$ di un insieme $S$ è un insieme di insiemi, quindi una volta che ho una partizione di un insieme "Teorema fondamentale " esiste un'unica relazione di equivalenza $R_F$ tale che $F=S/R_F$, quindi posso considerare l'applicazione $\pi : i in I \ to \ \pi(i) in F=S/(R_F)$
Quindi anche $pi$ definisce una famiglia di insiemi.
Non sono un esperto di teoria assiomatica degli insiemi, ma direi che ti trovi ad avere a che fare con l'assioma della scelta https://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_della_scelta .
Sì, se $S$ è un insieme, esiste una biiezione tra l'insieme delle partizioni di $S$ e l'insieme delle relazioni di equivalenza su $S$; un verso non necessita di AC, l'altro (definire una partizione di $S$ a partire da \(R \in \text{EqvR}(S) \)) invece sì, perché devi prendere un trasversale del quoziente.
Ma hai davvero bisogno dell’assioma della scelta?
Sia $A$ un insieme. Una relazione di equivalenza e’ un sottoinsieme
di $A\times A$ e quindi un elemento di $P(A\times A)$. Una partizione
di $A$ e’ un’insieme di sottoinsiemi di $A$ e quindi un elemento di $P(P(A))$
Adesso definisco $f:P(A\times A) \rightarrow P(P(A))$ in questo modo
$f(R)=\{\{b\in A:(a,b)\in R\}:a\in A\}$
Se $R$ e’ una relazione di equivalenza, allora $f(R)$ e’ la partizione
costituita dalle sue classi di equivalenza.
Ho usato l’assioma della scelta?
Sia $A$ un insieme. Una relazione di equivalenza e’ un sottoinsieme
di $A\times A$ e quindi un elemento di $P(A\times A)$. Una partizione
di $A$ e’ un’insieme di sottoinsiemi di $A$ e quindi un elemento di $P(P(A))$
Adesso definisco $f:P(A\times A) \rightarrow P(P(A))$ in questo modo
$f(R)=\{\{b\in A:(a,b)\in R\}:a\in A\}$
Se $R$ e’ una relazione di equivalenza, allora $f(R)$ e’ la partizione
costituita dalle sue classi di equivalenza.
Ho usato l’assioma della scelta?
Effettivamente sembra di no. Curioso, quando ho fatto questo esercizio avevo avuto la sensazione che la biiezione tra partizioni di $A$ e relazioni di equivalenza su $A$ usasse l'assioma della scelta. Il quale però è evidentemente necessario per trovare una sezione alla proiezione \(A \twoheadrightarrow A/R\).
Qualcosa di non costruttivo però deve esserci anche nella dimostrazione di sopra.
L'unica cosa che mi viene in mente ora è che serva per dimostrare che le classi di equivalenza sono disgiunte.
Qualcosa di non costruttivo però deve esserci anche nella dimostrazione di sopra.
L'unica cosa che mi viene in mente ora è che serva per dimostrare che le classi di equivalenza sono disgiunte.
"Stickelberger":
Ma hai davvero bisogno dell’assioma della scelta?
Sia $A$ un insieme. Una relazione di equivalenza e’ un sottoinsieme
di $A\times A$ e quindi un elemento di $P(A\times A)$. Una partizione
di $A$ e’ un’insieme di sottoinsiemi di $A$ e quindi un elemento di $P(P(A))$
Adesso definisco $f:P(A\times A) \rightarrow P(P(A))$ in questo modo
$f(R)=\{\{b\in A:(a,b)\in R\}:a\in A\}$
Se $R$ e’ una relazione di equivalenza, allora $f(R)$ e’ la partizione
costituita dalle sue classi di equivalenza.
Ho usato l’assioma della scelta?
Ok, trovato. Qui:
$f(R)$ e’ la partizione costituita dalle sue classi di equivalenza.
Serve un argomento non costruttivo per mostrare che le classi di equivalenza formano una partizione. Più in particolare, se \(R \subseteq X\times X\) è una relazione di equivalenza, può succedere che le classi di equivalenza \([x], [y]\) di due elementi distinti (nozione, quella di "elemento" che non esiste se non in maniera generalizzata) si intersechino non nell'iniziale, e tuttavia non ci siano elementi con cui separarli.
Secondo me no. Richiamo la definizione (Wikipedia):
una partizione di $A$ è una collezione $P$ di sottoinsiemi di $A$ tali che:
1. i sottoinsiemi non sono vuoti;
2. l'unione di tutti i sottoinsiemi sia l'insieme $A$ stesso ($P$ è un ricoprimento di $A$);
3. dati due sottoinsiemi (distinti) qualsiasi di $A$, questi sono disgiunti.
Per $a\in A$ scrivo $X_a$ per $\{b\in A: (a,b)\in R\}$. Dimostro che $\{X_a:a\in A\}$
e' una partizione di $A$:
1. Per riflessivita’ $a\in X_a$.
2. Se $a\in A$, allora $a\in X_a$. Sempre per riflessivita’.
3. Per assurdo, supponiamo che $X_a\cap X_{a’}!=\emptyset$.
Sia $c\in X_a\cap X_{a’}$. Allora $(a,c)\in R$ e $(a’,c)\in R$.
Ora faccio vedere che $X_a\subset X_{a'}$. L’inclusione opposta e’
simile e quindi $X_a=X_{a'}$.
Sia $b\in X_a$. Allora $(a,b)\in R$. Per simmetria $(b,a)\in R$.
Poiche' $(a,c)\in R$ anche $(b,c)\in R$ (per transitivita').
Poiche' $(a',c)\in R$, anche $(b,a')\in R$ (per transitivita’ e simmetria)
e quindi $b \in X_{a’}$.
Forse una dimostrazione per assurdo non e’ "costruttiva", ma non ci vuole
l’assioma della scelta.
una partizione di $A$ è una collezione $P$ di sottoinsiemi di $A$ tali che:
1. i sottoinsiemi non sono vuoti;
2. l'unione di tutti i sottoinsiemi sia l'insieme $A$ stesso ($P$ è un ricoprimento di $A$);
3. dati due sottoinsiemi (distinti) qualsiasi di $A$, questi sono disgiunti.
Per $a\in A$ scrivo $X_a$ per $\{b\in A: (a,b)\in R\}$. Dimostro che $\{X_a:a\in A\}$
e' una partizione di $A$:
1. Per riflessivita’ $a\in X_a$.
2. Se $a\in A$, allora $a\in X_a$. Sempre per riflessivita’.
3. Per assurdo, supponiamo che $X_a\cap X_{a’}!=\emptyset$.
Sia $c\in X_a\cap X_{a’}$. Allora $(a,c)\in R$ e $(a’,c)\in R$.
Ora faccio vedere che $X_a\subset X_{a'}$. L’inclusione opposta e’
simile e quindi $X_a=X_{a'}$.
Sia $b\in X_a$. Allora $(a,b)\in R$. Per simmetria $(b,a)\in R$.
Poiche' $(a,c)\in R$ anche $(b,c)\in R$ (per transitivita').
Poiche' $(a',c)\in R$, anche $(b,a')\in R$ (per transitivita’ e simmetria)
e quindi $b \in X_{a’}$.
Forse una dimostrazione per assurdo non e’ "costruttiva", ma non ci vuole
l’assioma della scelta.
Sì, il problema non è più l'assioma della scelta, ma il fatto che la dimostrazione non è costruttiva: come dimostri che da una relazione di equivalenza ottieni una partizione? E cos'è una classe di equivalenza in generale (cioè quando il terminale non è un generatore)?
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