F(a+b)=F(a;b)
Sia K un estensione di F, a e b appartenenti a K algebrici su Fdi gradi m e n rispettivamente. Mostrare che se MCD(m,n)=1 allora
F(a+b)=F(a,b)..
Buon lavoro =)
F(a+b)=F(a,b)..
Buon lavoro =)
Risposte
Salve Reginald,
magari se inizi tu, o se poni l'invito meno da saputello, forse potremmo aiutarti
Cordiali saluti
magari se inizi tu, o se poni l'invito meno da saputello, forse potremmo aiutarti
Cordiali saluti
Va bene ma non ho fatto un gran che di passi avanti XD..
io volevo provare a vedere se una cosa del genere era vera: è vero che $[F(a+b,a):F(a+b)]|[F(a):F]$ ? ci ho provato ma senza successo..se questo fosse allora si finisce, perchè ho che $mn|[F(a+b):F]$ e $[F(a+b):F]\le mn $ da cui si ha $[F(a+b):F]=mn$ che è la tesi.. non sono riuscito a fare null'altro di buono..
io volevo provare a vedere se una cosa del genere era vera: è vero che $[F(a+b,a):F(a+b)]|[F(a):F]$ ? ci ho provato ma senza successo..se questo fosse allora si finisce, perchè ho che $mn|[F(a+b):F]$ e $[F(a+b):F]\le mn $ da cui si ha $[F(a+b):F]=mn$ che è la tesi.. non sono riuscito a fare null'altro di buono..
Dunque, siccome [tex]\text{gcd}(m,n) = 1[/tex], il polinomio minimo di [tex]a[/tex] su [tex]F(b)[/tex] è lo stesso che su [tex]F[/tex] (utile esercizio!).
Di qui si deduce abbastanza linearmente che [tex][F(a+b):F(b)] = [F(a) : F(b)] = n[/tex]. Quindi [tex][F(a+b) : F] = [F(a+b) : F(b)] [F(b) : F] = n m[/tex], che poi è quello che volevamo.
Ti consiglio di fare l'esercizio perché è uno dei lemmi che mi è capitato di usare più spesso facendo esercizi di questo tipo!
Di qui si deduce abbastanza linearmente che [tex][F(a+b):F(b)] = [F(a) : F(b)] = n[/tex]. Quindi [tex][F(a+b) : F] = [F(a+b) : F(b)] [F(b) : F] = n m[/tex], che poi è quello che volevamo.
Ti consiglio di fare l'esercizio perché è uno dei lemmi che mi è capitato di usare più spesso facendo esercizi di questo tipo!
cavolo..non mi è chiara una cosa 
..cosa intendi per $[F(a+b):F(b)]$? perchè se è la dimensione di $F(a+b)$ pensato come spazio vettoriale su $F(b)$ allora non ho capito come fai a dire che $F(a+b)$ può essere pensato come spazio vettoriale su $F(b)$.. cioè, non capisco come fai a dire che b appartiene (come si fa in latex il simbolo di appartiene e di è incluso? ) a F(a+b).. Grazie mille per la disponibilità! =)
..cosa intendi per $[F(a+b):F(b)]$? perchè se è la dimensione di $F(a+b)$ pensato come spazio vettoriale su $F(b)$ allora non ho capito come fai a dire che $F(a+b)$ può essere pensato come spazio vettoriale su $F(b)$.. cioè, non capisco come fai a dire che b appartiene (come si fa in latex il simbolo di appartiene e di è incluso? ) a F(a+b).. Grazie mille per la disponibilità! =)
Scusami, hai perfettamente ragione. Dovevo uscire in fretta e non ho ragionato correttamente. Se sapessimo che [tex]b \in F(a+b)[/tex] avremmo automaticamente concluso.
Cambiamo punto di vista. Le estensioni sono almeno separabili? Ad esempio, posso assumere che [tex]F[/tex] abbia caratteristica 0? In tal caso con la teoria di Galois si dovrebbe riuscire a concludere. Altrimenti devo pensarci...
Cambiamo punto di vista. Le estensioni sono almeno separabili? Ad esempio, posso assumere che [tex]F[/tex] abbia caratteristica 0? In tal caso con la teoria di Galois si dovrebbe riuscire a concludere. Altrimenti devo pensarci...
Le ipotesi sono solo quelle che ho detto =(..ho ricopiato il testo pari pari.. lo ho preso dal Teoria delle equazioni di Galois di Steffania Gabelli, ed è alcuni capitoli prima che faccia la teoria di Galois, quindi (presumo) si possa risolvere senza.. però boh..
Secondo me, la chiave di tutto sta nel mostrare che $[F(a+b):F]=mn$.
Infatti, da un lato è ovvio che $F(a+b)\subseteq F(a,b)$ (direi per gli assiomi di campo); dall'altra, $[F(a,b):F]=[F(a):F(b)]*[F(b):F]=mn$. Quindi, se facciamo vedere che $[F(a+b):F]=mn$ dovremmo essere a posto.
Adesso, se chiamiamo $c=a+b$ si ha $b=c-a$. Forse da qui si può dire qualcosa sul polinomio minimo di $c$..
Ovviamente per dedurre il grado di $F(a,b)$ su $F$ bisogna aver fatto l'interessante esercizio che propone maurer:
Ora ci penso.
Infatti, da un lato è ovvio che $F(a+b)\subseteq F(a,b)$ (direi per gli assiomi di campo); dall'altra, $[F(a,b):F]=[F(a):F(b)]*[F(b):F]=mn$. Quindi, se facciamo vedere che $[F(a+b):F]=mn$ dovremmo essere a posto.
Adesso, se chiamiamo $c=a+b$ si ha $b=c-a$. Forse da qui si può dire qualcosa sul polinomio minimo di $c$..
Ovviamente per dedurre il grado di $F(a,b)$ su $F$ bisogna aver fatto l'interessante esercizio che propone maurer:
"maurer":
Dunque, siccome [tex]\text{gcd}(m,n) = 1[/tex], il polinomio minimo di [tex]a[/tex] su [tex]F(b)[/tex] è lo stesso che su [tex]F[/tex] (utile esercizio!).
Ora ci penso.
Esiste un modo alquanto articolato per dimostrare il teorema dell'elemento primitivo in caso di campi di caratteristica 0.
Magari si può emulare per ottenere un risultato simile sotto l'ipotesi di coprimalità. Nel dettaglio, siano [tex]a = a_1, a_2, \ldots, a_n[/tex], [tex]b = b_1, b_2, \ldots, b_m[/tex] gli elementi coniugati di [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. Se scegliamo [tex]\gamma[/tex] in modo che [tex]a_i + \gamma b_j \ne a + \gamma b[/tex] (si può fare perché il campo ha infiniti elementi), otteniamo che [tex]a + \gamma b[/tex] genera tutta l'estensione [tex]F(a,b)[/tex]. Vado a rivedere la dimostrazione e ci medito su...
Magari si può emulare per ottenere un risultato simile sotto l'ipotesi di coprimalità. Nel dettaglio, siano [tex]a = a_1, a_2, \ldots, a_n[/tex], [tex]b = b_1, b_2, \ldots, b_m[/tex] gli elementi coniugati di [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. Se scegliamo [tex]\gamma[/tex] in modo che [tex]a_i + \gamma b_j \ne a + \gamma b[/tex] (si può fare perché il campo ha infiniti elementi), otteniamo che [tex]a + \gamma b[/tex] genera tutta l'estensione [tex]F(a,b)[/tex]. Vado a rivedere la dimostrazione e ci medito su...
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