$f=0$ se e solo se $ f:K^n->K $ è funzione nulla

[toguttina]

Buonasera a tutti!
Mi sono imbattuta in un teorema di geometrica algebrica e computazionale; ho provato a dimostrarlo e volevo chiedervi se questa dimostrazione andava bene oppure ho trascurato qualcosa.
Il teorema è il seguente:
Data una funzione polinomiale $f$ questa è $=0$ se e solo se $f:K^n->K$ è una funzione nulla.
L'ho dimostrato nel modo seguente:
Se $n=1$ e $f(a)=0 $ per ogni $a$ appartenente a $K$ con $K$ infinito allora $f$ ha infinite radici o zeri. Ragioniamo per induzione e supponiamo che il teorema sia vero per $n-1$ e proviamolo per $n$.
$ f=sum g_b (x_1cdots x_(n-1))(x_n)^(b ) $ con $(x_1...x_(n-1)) in K[(x_1...x_(n-1))]$.
Consideriamo un'ennupla $(a_1...a_n)$. Per hp $f(a_1...a_n)=0 AA (a_1...a_n) $.
$f(a_1...a_(n-1),x_n)= sum g_b (x_1cdots x_(n-1))(x_n)^(b ) rArr g_b(a_1...a_(n-1))=0 rArrg_b=0 rArr f=0$.
Ditemi la vostra opinione e se devo precisare qualche dettaglio.
Grazie.

[Studente Anonimo]

Le idee sono giuste, però non hai dimostrato il caso [tex]n=1[/tex]. E ricorda che nell'enunciato va specificato chiaramente che il campo [tex]K[/tex] è infinito.

[mod="Martino"]Nel frattempo sposto in algebra, mi sembra più opportuno.[/mod]

[toguttina]

giuste osservazioni: Essendo $K$ infinito posso dimostrare il caso $n=1$ nel seguente modo:
Se $n=1$ sappiamo che un polinomio non nullo in $K[x]$ di grado $m$ ha al più $m$ radici distinte. Per la nostra particolare $finK[x]$, assumeremo $f(a)=0 AA ainK$. Dato che $K$ è infinito, ciò vuol dire che $f$ ha infinite radici e quindi $f$ deve essere un polinomio nullo.
Che ne pensi?Secondo te va bene?
Grazie.