Ext group e Annullatore
Ciao a tutti, vorrei chiedere un aiuto per il seguente esercizio:
Sia \(R = K[x,y]\) l'anello dei polinomi in due variabili, dove \(K\) è algebricamente chiuso.
a)Se \(M\) è un modulo di lunghezza finita su R, allora i quozienti delle sue composition series sono della forma\(R/(x-a,y-b)\) per \(a,b\in K\)
b) Se \(M\) è tale che \(Ann(M) = \{r \in R \mid rm = 0, \: \forall m \in M \} \supseteq (x-a,y-b)\) allora \(Ann(Ext^i(M,N)) \supseteq (x-a,y-b) \) per ogni \(R\)-module \(N\)
hint per b): considerare le mappe \(m \in M \mapsto (x-a)m \in M \) e \(m \in M \mapsto (y-b)m \in M \) e applicare \(Ext^i(-,N) \)
Per il punto a) vorrei solo chiedere se è giusto, l'ho svolto così:
Sia \(0 = M_0 \subset M_1 \subset .... \subset M_n = M\) una composition series di M, allora abbiamo che \(M_i/M_{i-1}\) sono degli \(R\)-moduli semplici (per massimalità di \(M_{i-1}\) in \(M_i\)), quindi per ogni elemento \(m\) non zero di \(M_i/M_{i-1}\) abbiamo che \(M_i/M_{i-1} \cong Rm\) (quindi ciclico), ora sappiamo che \(Rm \cong R/Ann(m)\) e dunque \(M_i/M_{i-1} \cong Rm \cong R/Ann(m)\) e dunque \(R/Ann(m)\) è semplice e pertanto \(Ann(m)\) è massimale e dunque \(Ann(m)\) è della forma \((x-a,y-b)\)
(P.s. i passaggi non sono tanto giustificati perchè sono risultati visti in delle serie precedenti)
per b) non ho nessuna idea di come fare, non riesco a capire cosa farmene e come utilizzare l'hint.
In corso abbiamo visto come calcolare gli Ext-group, ovvero data una risoluzione proiettiva (non so se si dice così) si applica \(Hom(-,N)\) per poi ottenere un cocatena ed in seguito trovare i gruppi di coomologia che sono i nostri \(Ext^i(M,N)\) ma in questo caso non so proprio su cosa applicarlo. Poi la condizione che \((x-a,y-b) \subseteq Ann(M)\) mi implica che \(Ann(M) = (x-a,y-b)\) oppure \(Ann(M) = R\) (per massimalità di (x-a,y-b)), giusto?
Poi avrei un'altra domanda, ma per l'indice i degli Ext vi è un limite? cioè quando mi viene chiesto di calcolare gli \(Ext^i \) c'è un indice i per il quale ottengo sempre 0? oppure questo dipende dalla risoluzione scelta (anche se mi pare di aver letto che sono indipendenti dalla risoluzione).
Sia \(R = K[x,y]\) l'anello dei polinomi in due variabili, dove \(K\) è algebricamente chiuso.
a)Se \(M\) è un modulo di lunghezza finita su R, allora i quozienti delle sue composition series sono della forma\(R/(x-a,y-b)\) per \(a,b\in K\)
b) Se \(M\) è tale che \(Ann(M) = \{r \in R \mid rm = 0, \: \forall m \in M \} \supseteq (x-a,y-b)\) allora \(Ann(Ext^i(M,N)) \supseteq (x-a,y-b) \) per ogni \(R\)-module \(N\)
hint per b): considerare le mappe \(m \in M \mapsto (x-a)m \in M \) e \(m \in M \mapsto (y-b)m \in M \) e applicare \(Ext^i(-,N) \)
Per il punto a) vorrei solo chiedere se è giusto, l'ho svolto così:
Sia \(0 = M_0 \subset M_1 \subset .... \subset M_n = M\) una composition series di M, allora abbiamo che \(M_i/M_{i-1}\) sono degli \(R\)-moduli semplici (per massimalità di \(M_{i-1}\) in \(M_i\)), quindi per ogni elemento \(m\) non zero di \(M_i/M_{i-1}\) abbiamo che \(M_i/M_{i-1} \cong Rm\) (quindi ciclico), ora sappiamo che \(Rm \cong R/Ann(m)\) e dunque \(M_i/M_{i-1} \cong Rm \cong R/Ann(m)\) e dunque \(R/Ann(m)\) è semplice e pertanto \(Ann(m)\) è massimale e dunque \(Ann(m)\) è della forma \((x-a,y-b)\)
(P.s. i passaggi non sono tanto giustificati perchè sono risultati visti in delle serie precedenti)
per b) non ho nessuna idea di come fare, non riesco a capire cosa farmene e come utilizzare l'hint.
In corso abbiamo visto come calcolare gli Ext-group, ovvero data una risoluzione proiettiva (non so se si dice così) si applica \(Hom(-,N)\) per poi ottenere un cocatena ed in seguito trovare i gruppi di coomologia che sono i nostri \(Ext^i(M,N)\) ma in questo caso non so proprio su cosa applicarlo. Poi la condizione che \((x-a,y-b) \subseteq Ann(M)\) mi implica che \(Ann(M) = (x-a,y-b)\) oppure \(Ann(M) = R\) (per massimalità di (x-a,y-b)), giusto?
Poi avrei un'altra domanda, ma per l'indice i degli Ext vi è un limite? cioè quando mi viene chiesto di calcolare gli \(Ext^i \) c'è un indice i per il quale ottengo sempre 0? oppure questo dipende dalla risoluzione scelta (anche se mi pare di aver letto che sono indipendenti dalla risoluzione).
Risposte
per l'indice i degli Ext vi è un limite?La dimensione omologica di un anello è proprio definita come il liminf dei $d$ tale che \(\text{Ext}^d\) è il funtore zero. Potresti voler leggere il capitolo 8 del Rotman.
Per ipotesi, l’applicazione $M\rightarrow M$ data dalla moltiplicazione per $x-a$
e’ zero. Poiche’ $Ext_R^i(-,N)$ e’ un funtore, l’applicazione indotta
$Ext_R^i(M,N)\rightarrow Ext_R^i(M,N)$ e' anche zero. Stessa cosa per
la moltiplicazione per $y-b$.
e’ zero. Poiche’ $Ext_R^i(-,N)$ e’ un funtore, l’applicazione indotta
$Ext_R^i(M,N)\rightarrow Ext_R^i(M,N)$ e' anche zero. Stessa cosa per
la moltiplicazione per $y-b$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo