[EX] Un gruppo di automorfismi

[Shocker1]

Propongo il seguente esercizio: descrivere $Aut(Q_8 xx D_4)$ e trovarne la cardinalità.
Ps: per $D_n$ s'intende il gruppo diedrale di un poligono regolare di $n$ lati, quindi $D_n$ ha cardinalità $2n$.

[Stickelberger]

3072?

[spugna2]

Ho pensato a questo, anche se manca la parte finale...

Notazione: $G=Q_8 times D_4$ e $Q_8=\{+-1,+-i, +-j, +-k\} $, mentre in $D_4$ chiamo $e,r,s $, rispettivamente, l'identità, una rotazione di $90°$ e una riflessione.

Considero i sottogruppi $Z=\{+-1\} times \{e,r^2\} $, $H=\{+-1\} times D_4$ e $K=Q_8 times \{e,r^2\} $, che sono catatteristici: il primo è il centro, il secondo è generato dagli elementi di ordine $2$, mentre il terzo è generato da $Z uu \{(i,e),(j,e)\}$, e le immagini di questi ultimi due elementi, dovendo appartenere a classi di coniugio di cardinalità $2$ ma non ad $H $, appartengono necessariamente a $K $. Osservo inoltre che ogni automorfismo di $G$ fissa tutti gli elementi di $Z $, perché quelli di ordine $2$ si distinguono a due a due per il numero di "radici quadrate".

Trovo quindi l'omomorfismo $rho: Aut (G) rightarrow Gamma:=Aut_Z (H) times Aut_Z (K)$ dato dalle due restrizioni, dove $Aut_Z $ indica il gruppo degli automorfismi che inducono l'identità su $Z $, e dimostro che è un isomorfismo: l'iniettività è ovvia, mentre da $(alpha, beta) in Gamma$ costruisco $psi (x,y)=alpha (1,y)*beta (x,e) $, che ha tutte le proprietà richieste (verifiche facili).

Resta da capire chi sono i fattori di $Gamma$: a occhio sembrano essere gruppi di ordine rispettivamente $32$ e $96$, ma al momento non saprei dire altro.

[Shocker1]

"Stickelberger":3072?

Corretto! Come sei arrivato a questo risultato?

"spugna":Ho pensato a questo, anche se manca la parte finale...

Notazione: $ G=Q_8 times D_4 $ e $ Q_8=\{+-1,+-i, +-j, +-k\} $, mentre in $ D_4 $ chiamo $ e,r,s $, rispettivamente, l'identità, una rotazione di $ 90° $ e una riflessione.

Considero i sottogruppi $ Z=\{+-1\} times \{e,r^2\} $, $ H=\{+-1\} times D_4 $ e $ K=Q_8 times \{e,r^2\} $, che sono catatteristici: il primo è il centro, il secondo è generato dagli elementi di ordine $ 2 $, mentre il terzo è generato da $ Z uu \{(i,e),(j,e)\} $, e le immagini di questi ultimi due elementi, dovendo appartenere a classi di coniugio di cardinalità $ 2 $ ma non ad $ H $, appartengono necessariamente a $ K $. Osservo inoltre che ogni automorfismo di $ G $ fissa tutti gli elementi di $ Z $, perché quelli di ordine $ 2 $ si distinguono a due a due per il numero di "radici quadrate".

Trovo quindi l'omomorfismo $ rho: Aut (G) rightarrow Gamma:=Aut_Z (H) times Aut_Z (K) $ dato dalle due restrizioni, dove $ Aut_Z $ indica il gruppo degli automorfismi che inducono l'identità su $ Z $, e dimostro che è un isomorfismo: l'iniettività è ovvia, mentre da $ (alpha, beta) in Gamma $ costruisco $ psi (x,y)=alpha (1,y)*beta (x,e) $, che ha tutte le proprietà richieste (verifiche facili).

Resta da capire chi sono i fattori di $ Gamma $: a occhio sembrano essere gruppi di ordine rispettivamente $ 32 $ e $ 96 $, ma al momento non saprei dire altro.

Penso tu sia sulla buona strada, magari rappresentare $\alpha$ e $\beta$ in altro modo(magari con una matrice)
e imporre le condizioni di appartenenza ad $Aut_Z (H)$ e ad $Aut_Z (K)$ potrebbe aiutare a stabilire con esattezza la cardinalità dei fattori. Lemmeknow!
Riguardo alla descrizione del gruppo: ci sto lavorando, l'ideale sarebbe trovare qualche relazione fra gli elementi del gruppo.

Ciao!

[spugna2]

Credo di aver fatto qualche passo avanti:

$Aut_Z(K)$ contiene in modo ovvio $Aut(Q_8)$, e un generico $beta$ è determinato dalle immagini di $(i,e)$ e $(j,e)$, che chiamo rispettivamente $(x_i,y_i)$ e $(x_j,y_j)$: dato che non commutano, non lo fanno nemmeno $x_i$ e $x_j$, ma allora esiste un unico $theta in Aut(Q_8)$ tale che, sostituendo $beta$ con $theta^(-1) circ beta$, $x_i=i$ e $x_j=j$. Resta da scegliere $y_i$ e $y_j$, ma è facile vedere che lo si può fare liberamente, quindi ci sono $4$ possibilità, e in totale ho $24*4=96$ automorfismi; ognuno di questi è descritto da $(theta, y_i, y_j, y_k)$, con $y_i y_jy_k=e$, e moltiplicandone due in queste "coordinate" si vede che è un prodotto semidiretto: $Aut(Q_8)$ agisce su $Q_8$ permutando le coppie $\{+-i\},\{+-j\},\{+-k\}$, quindi agisce anche su $V:=\{(y_i,y_j,y_k)|y_i y_j y_k=e\}$ permutando le componenti, dando cioè $Aut_Z(K) cong V rtimes Aut(Q_8) cong (C_2)^2 rtimes S_4$, dove $C_2$ è il gruppo ciclico di ordine $2$.


Per $Aut_Z(H)$, uso la presentazione $H cong langle s,t,z | s^2=t^2=(st)^4=z^2=[s,z]=[t,z]=e rangle$, e ponendo $r=st$ (che è coerente con la notazione usata per $D_4$) $Z$ corrisponde a $langle r^2,z rangle$. Considero $N_1=\langle s,r^2,z \rangle$ e $N_2=\langle t,r^2,z \rangle$, che sono gli unici due sottogruppi di $H$ isomorfi a $(C_2)^3$ e contenenti $Z$: un automorfismo $alpha in Aut_Z(H)$ può stabilizzare entrambi o scambiarli, ma se li stabilizza è univocamente determinato da $alpha(s)=vs$ e $alpha(t)=wt$, con $v,w in Z$, e sostituendo in tutte le relazioni si vede che questi ultimi si possono scegliere liberamente; questi $4*4=16$ isomorfismi formano un gruppo isomorfo in modo naturale a $Z^2$. D'altra parte esiste un automorfismo che scambia $N_1$ e $N_2$, ad esempio quello che scambia $s$ e $t$. Ne segue che $Aut_Z(H) cong Z^2 rtimes C_2$ (ordine $32$), ed è facile convincersi che l'azione di $C_2$ è quella che scambia le componenti.