[EX] Sui gruppi di ordine pari

[j18eos]

Pensando a quanto mi ha detto Martino qui, propongo un esercizietto carino carino; poi fornirò la fonte:

Sia [tex]$G$[/tex] un gruppo finito di ordine pari, dimostrare che esso ha un sottogruppo di ordine [tex]$2$[/tex].

Ovviamente non è consentito utilizzare i teoremi di Sylow ed altre inversioni parziali del teorema di Lagrange!

[Lemniscata1]

Credo che tu debba porre limitazioni anche sul teorema di Cauchy altrimenti è banale no?

[j18eos]

Per come lo conosco io, il lemma di Cauchy è valido solo per i gruppi abeliani, ma ho capito a quale ti riferisci. Ho specificato altre limitazioni, grazie!

[francicko]

Scusa ma un gruppo di ordine pari ,che non possieda un elemento diverso dall'elemento neutro,che abbia per inverso se stesso, è impossibile, in quanto a parte l'elemento neutro, ogni elemento del gruppo dovrebbe avere un inverso diverso da se stesso, ma se così fosse risulterebbe $o(G)=2n+1$ per un certo $ninN$, impossibile perchè abbiamo supposto per ipotesi $o(G)$ pari.

[j18eos]

Sì francicko, questa è una possibile soluzione (che ti chiedo di mettere in spoiler); ho proposto questo esercizio proprio per stuzzicare l'acume algebrico dei lettori, come hai provato non c'è bisogno di usare chissà quale fantasmagorico teorema.

EDIT Ho sottolineato che è stata trovata solo una soluzione (quella che io chiamo scema), è interessante trovarne un'altra!

[menale1]

IO propongo questa :

se c'è un sottogruppo di ordine due significa che esiste un elemento $ g in G $ tale che sia un'involuzione . Pertanto supponiamo per assurdo che non vi siano involuzioni , pertanto $ AA g in G $ , $ g^2 != 1 $ e $ g^(-1) != g $ . A tal punto se analizziamo il nostro gruppo $ G $ in questo stesso per ogni elemento troveremo la sua involuzione , dunque un quantitativo pari di elemento a cui bisogna aggiungere l'elemento neutro , pertanto $ G $ avrebbe ordine dispari : ASSURDO .

Che ne dite

[j18eos]

Mi sà che ti sei mangiato qualche parola dato che non capisco il II rigo!

Poi come fai a dire che vi sia per forza un sottogruppo di ordine \(2\); più che altro dimostri che ci deve essere, attento!

[menale1]

Quale punto della mia "dimostrazione-azzardo" non ti è chiaro ??

[j18eos]

"menale":...il nostro gruppo $ G $ in questo stesso per ogni elemento...

Più preciso di così!

[menale1]

Ohibò chiedo venia per il mancato senso del rigore linguistico.

Intendevo dire : supponiamo che $ G $ non abbia alcuna involuzione , pertanto $ AA g in G $ $ g^-1 != g $ e $ g^2 != 1 $ ; dunque gli elementi di $ G $ saranno $ { 1 , g , g^(-1) , h , h^(-1),......} $ ossia ogni elemento va considerato in coppia con la sua involuzione , pertanto la somma darà un numero pari a cui bisogna aggiungere l'elemento neutro pertanto , G avrebbe ordine dispari : ASSURDOOOOOOOOOO !

Allora ???

[Mrhaha]

Concordo con la dimostrazione del Menale!

[menale1]

Ohibò , vorrei anche la conferma del buon j18eos

[j18eos]

Se proprio insisti, eccotela: tutto ok!

Un'altra dimostrazione la si trova?

[menale1]

Ci penso e ti farò sapere !!!

[j18eos]

Attenzione: non ho richiesto di non usare i cannoni, ho richiesto di non utilizzare le inversioni parziali del teorema di Lagrange; buon lavoro a tutti!