[EX] Sottocaso dell'ultimo teorema di Fermat
Sia \(\displaystyle A:= \mathbb{Z}\setminus 3\mathbb{Z} \) (cioè l'insieme degli interi non multipli di \(\displaystyle 3 \)).
Dimostrare che l'equazione \(\displaystyle x^3+y^3=z^3 \) non ha soluzioni in \(\displaystyle A \).
Dimostrare che l'equazione \(\displaystyle x^3+y^3=z^3 \) non ha soluzioni in \(\displaystyle A \).
Risposte
Faccio un tentativo... xD
Sia \( x^3+y^3=z^3\).
Per il th. di Fermat abbiamo:
\( x^3 \equiv x, y^3 \equiv y, z^3 \equiv z\) \( mod \) \( 3\) da cui:
\( x+y \equiv z\) \( mod \) \( 3\)
quindi possiamo scrivere
\( x+y=z+3k\) con \( k \in \mathbb{Z}\)
da cui
\( (x+y)^3=(z+3k)^3\)
\( x^3+y^3+3xy(x+y)=z^3+27k^3+9kz(z+3k)\)
\( xy(x+y)=3kz(z+3k)+9k^3\)
quindi
\( 3 |xy(x+y)\) pertanto:
\( 3|x\) oppur \( 3|y\) oppure \(3|x+y \), \( 3|z+3k\), \( 3|z\)
Per il th. di Fermat abbiamo:
\( x^3 \equiv x, y^3 \equiv y, z^3 \equiv z\) \( mod \) \( 3\) da cui:
\( x+y \equiv z\) \( mod \) \( 3\)
quindi possiamo scrivere
\( x+y=z+3k\) con \( k \in \mathbb{Z}\)
da cui
\( (x+y)^3=(z+3k)^3\)
\( x^3+y^3+3xy(x+y)=z^3+27k^3+9kz(z+3k)\)
\( xy(x+y)=3kz(z+3k)+9k^3\)
quindi
\( 3 |xy(x+y)\) pertanto:
\( 3|x\) oppur \( 3|y\) oppure \(3|x+y \), \( 3|z+3k\), \( 3|z\)
Direi che sono corrette entrambe.
La mia soluzione fa uso della congurenza modulo $9$.
Per ogni $a $ intero non multiplo di $3$ si ha $a^3 -= +-1 (mod 9)$.
La mia soluzione fa uso della congurenza modulo $9$.
Per ogni $a $ intero non multiplo di $3$ si ha $a^3 -= +-1 (mod 9)$.
"Gi8":
La mia soluzione fa uso della congurenza modulo 9
Infatti mi sembrava che il th. di Fermat fosse un pò troppo potente per provare questa cosa.

Se $x^p + y^p = z^p$ allora $p|x$ oppure $p|y$ oppure $p|z$
per qualche primo $p$ piccolo. Io credo di esserci riuscito con $p=5$. Magari anche la dimostrazione con $p$ generico è facile, non so...
Saluti.

Segnalo che il fatto che il teorema sia vero nel caso [tex]n=3[/tex] è una conseguenza del fatto che [tex]\mathbb{Z}[\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}][/tex] (l'anello degli interi del terzo campo ciclotomico) è un dominio a fattorizzazione unica (cf. qui(1)). Purtroppo i campi ciclotomici i cui anelli degli interi sono a fattorizzazione unica sono solo 46 (cf. qui(2)). Fine degli OT
