[EX] - Polinomi
Buonasera ragazzi,
vi propongo il seguente esercizio.
Esercizio. Si consideri in \(\mathbb{Z}[x]\) il polinomio \(f(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) e sia \(g(x)\in \mathbb{Z}_3[x]\) il polinomio ottenuto da \(f(x)\) riducendone i coefficienti modulo \(3\).
Si ha
\[g(x)= x^4+[-3]_3 x^3+[3]_3 x^2+[-3]_3x + [2]_3 = x^4 + [2]_3\]
A occhio, le radici di \(g(x)\) sono \([1]_3\) e \([2]_3\). Essendo \(3\) primo, allora \(\mathbb{Z}_3\) è un campo, dunque vale il Teorema di Ruffini: si ha che \(p_1(x) : = (x-[1]_3)|g(x)\) e \(p_2(x) : =(x-[2]_3)|g(x)\), quindi \(p_1(x)\) e \(p_2(x)\), essendo irriducibili, compaiono nella decomposizione in fattori irriducibili di \(g(x)\), ovvero si ha
\[g(x)=p_1(x)p_2(x)q(x)\]
per qualche \(q(x)\in {ZZ}_3(x)\). Dalle formule del grado si deduce che \(\deg q=2\), ovvero \(q(x)\) è della forma \(ax^2+bx+c\). Per determinare \(q(x)\) procedo in questo modo (purtroppo, non sono riuscito a seguire le esercitazioni
quindi in queste situazioni cerco di "inventare" un metodo per cavarmela...se c'è di meglio vi prego di illuminarmi); ho:
\[x^4+[2]_3=(ax^2+bx+c)(x-[1]_3)(x-[2]_3)=(ax^2+bx+c)(x^2+[2]_3)=ax^4+[2]_3ax^2+bx^3+[2]_3bx+cx^2+[2]_3c\]
da cui deduco \(a=c=[1]_3\) e \(b=[0]_3\), e quindi \(q(x)=x^2+[1]_3\).
Sia ora \(\alpha=r/s\) una radice di \(f(x)\). Allora so che \(s|1\) e \(r|2\), da cui \(s\in \{1,-1\}\) e \(r\in \{1,-1,2,-2\}\). Segue che \(\alpha\in \{1,-1,2,-2\}\). Ho
\[f(1)=0\quad f(-1)\ne 0\quad f(2)\ne 0\quad f(-2)\ne 0\]
Quindi \(f(x)\) ha un'unica radice in \(\mathbb{Q}[x]\), \(p(x)=(x-1)\). In base a un ragionamento analogo a quello di poco fa, deduco che \(f(x)=p(x)q(x)\), con \(q(x)=x^3-2x^2+x-2\)
Dal momento che \(g(x)\) è riducibile in \(\mathbb{Z}_3[x]\), si ha che l'anello \(B\) non è un campo. La cardinalità di \(B\) è il numero di tutti i polinomi di grado \(<\deg g=4\) a coefficienti in \(\mathbb{Z}_3[x]\), che sono esattamente \(3^4=81\).
Si ha che \(x\) e \(g(x)\) sono coprimi, quindi \([x]\) è invertibile in \(B\). Come determino l'inverso? Devo necessariamente utilizzare il Lemma di Bezout?
Per il resto, tutto ok?
vi propongo il seguente esercizio.
Esercizio. Si consideri in \(\mathbb{Z}[x]\) il polinomio \(f(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) e sia \(g(x)\in \mathbb{Z}_3[x]\) il polinomio ottenuto da \(f(x)\) riducendone i coefficienti modulo \(3\).
[*:3nswz9z4] Si scrivano le decomposizioni in fattori irriducibili di \(f(x)\) in \(\mathbb{Q}[x]\) e di \(g(x)\) in \(\mathbb{Z}_3[x]\);[/*:m:3nswz9z4]
[*:3nswz9z4] si dica se l'anello \(B : = \mathbb{Z}_3[x] / g(x)\) è un campo e se ne determini l'ordine;[/*:m:3nswz9z4]
[*:3nswz9z4] si provi che $[x]$ è invertibile in $B$ e si trovi il suo inverso. [/*:m:3nswz9z4][/list:u:3nswz9z4]
Si ha
\[g(x)= x^4+[-3]_3 x^3+[3]_3 x^2+[-3]_3x + [2]_3 = x^4 + [2]_3\]
A occhio, le radici di \(g(x)\) sono \([1]_3\) e \([2]_3\). Essendo \(3\) primo, allora \(\mathbb{Z}_3\) è un campo, dunque vale il Teorema di Ruffini: si ha che \(p_1(x) : = (x-[1]_3)|g(x)\) e \(p_2(x) : =(x-[2]_3)|g(x)\), quindi \(p_1(x)\) e \(p_2(x)\), essendo irriducibili, compaiono nella decomposizione in fattori irriducibili di \(g(x)\), ovvero si ha
\[g(x)=p_1(x)p_2(x)q(x)\]
per qualche \(q(x)\in {ZZ}_3(x)\). Dalle formule del grado si deduce che \(\deg q=2\), ovvero \(q(x)\) è della forma \(ax^2+bx+c\). Per determinare \(q(x)\) procedo in questo modo (purtroppo, non sono riuscito a seguire le esercitazioni
quindi in queste situazioni cerco di "inventare" un metodo per cavarmela...se c'è di meglio vi prego di illuminarmi); ho:\[x^4+[2]_3=(ax^2+bx+c)(x-[1]_3)(x-[2]_3)=(ax^2+bx+c)(x^2+[2]_3)=ax^4+[2]_3ax^2+bx^3+[2]_3bx+cx^2+[2]_3c\]
da cui deduco \(a=c=[1]_3\) e \(b=[0]_3\), e quindi \(q(x)=x^2+[1]_3\).
Sia ora \(\alpha=r/s\) una radice di \(f(x)\). Allora so che \(s|1\) e \(r|2\), da cui \(s\in \{1,-1\}\) e \(r\in \{1,-1,2,-2\}\). Segue che \(\alpha\in \{1,-1,2,-2\}\). Ho
\[f(1)=0\quad f(-1)\ne 0\quad f(2)\ne 0\quad f(-2)\ne 0\]
Quindi \(f(x)\) ha un'unica radice in \(\mathbb{Q}[x]\), \(p(x)=(x-1)\). In base a un ragionamento analogo a quello di poco fa, deduco che \(f(x)=p(x)q(x)\), con \(q(x)=x^3-2x^2+x-2\)
Dal momento che \(g(x)\) è riducibile in \(\mathbb{Z}_3[x]\), si ha che l'anello \(B\) non è un campo. La cardinalità di \(B\) è il numero di tutti i polinomi di grado \(<\deg g=4\) a coefficienti in \(\mathbb{Z}_3[x]\), che sono esattamente \(3^4=81\).
Si ha che \(x\) e \(g(x)\) sono coprimi, quindi \([x]\) è invertibile in \(B\). Come determino l'inverso? Devo necessariamente utilizzare il Lemma di Bezout?
Per il resto, tutto ok?
Risposte
Ciao frà, la decomposizione di $f$ in $ZZ_3$ mi pare corretta. Per quella in $Q[x]$ è incompleta, $q(x)$ è irriducibile? Non lo hai provato.
Per l'inverso di $[x]$ , puoi vederla così
$x^4+2-=0(modf)<=> x*x^3-=1(modf)$ da cui..
Per l'inverso di $[x]$ , puoi vederla così
$x^4+2-=0(modf)<=> x*x^3-=1(modf)$ da cui..
Grazie Kash 
$q(x)$ è irriducibile perché ha grado $3$ ed è privo di radici in $QQ$, right? Ripeto: c'è un metodo più "efficace" per calcolare il polinomio quoziente? E' seccante fare tutti quei prodotti e non sempre il grado del polinomio è sufficientemente piccolo da rendere i calcoli umanamente possibili 
$q(x)$ è irriducibile perché ha grado $3$ ed è privo di radici in $QQ$, right? Ripeto: c'è un metodo più "efficace" per calcolare il polinomio quoziente? E' seccante fare tutti quei prodotti e non sempre il grado del polinomio è sufficientemente piccolo da rendere i calcoli umanamente possibili
"Plepp":
Grazie Kash
Ripeto: c'è un metodo più "efficace" per calcolare il polinomio quoziente? E' seccante fare tutti quei prodotti
il polinomio quoziente? dici la fattorizzazione?
Sinceramente, è più facile mostrare l'irriducibilità che
fattorizzare un polinomio .Tuttavia, ti consiglio di partire dalla fattorizzazione più comoda.. mi spiego.
Consideriamo $f(x)=x^4+2 \in ZZ_3[x]$
Se si decompone allora si decompone nel prodotto di due polinomi $p_1(x)=x^2+ax+b , p_2(x)=x^2+cx+d$ entrambi di $ZZ_3[x]$ Allora supponiamo che $f(x)=p_1(x)*p_2(x) $.. Fatti i prodotti, e risolto qualche sistema avrai , nel caso in cui $f(x)$ sia riducibile i tuoi $p_1$ e $p_2$.. a questo punto ti trovi, se esistono, le radici di entrambi.. e il gioco è fatto.
Comunque, ti ripeto, non mi pare ci siano tecniche veloci per fattorizzare un polinomio. Un po di pratica ed esperienza.. forse.
Okay, grazie ancora Ma come fanno $p_1$ e $p_2$ ad avere radici se $f$ non ce le ha? 
Se per assurdo $p_1$, ad esempio, avesse una radice $\alpha$, allora $p_1$ sarebbe divisibile per $(x-\alpha)$, e quindi anche $f$ sarebbe divisibile per $(x-\alpha)$...
Ma come fanno $p_1$ e $p_2$ ad avere radici se $f$ non ce le ha? Se per assurdo $p_1$, ad esempio, avesse una radice $\alpha$, allora $p_1$ sarebbe divisibile per $(x-\alpha)$, e quindi anche $f$ sarebbe divisibile per $(x-\alpha)$...
$f([1]_3)=[1]_3^4+[2]_3 =[2+1]_3=[3]_3 =[0]_3$ ($f(x)=x^4+2 ( \in ZZ_3[x]$ ovviamente)
La domanda non era questa e poi le radici di $f(x)$ le abbiamo già trovate e sono due (e basta): $[1]$ e $[2]$. So dunque che $f(x)=(x-[1])(x-[2])q(x)$. Facciamo finta di non sapere chi è $q(x)$. Ha ancora senso andare a cercare le radici di $q(x)$? Per il ragionamento del post precedente, io dico di no, right?
e poi le radici di $f(x)$ le abbiamo già trovate e sono due (e basta): $[1]$ e $[2]$. So dunque che $f(x)=(x-[1])(x-[2])q(x)$. Facciamo finta di non sapere chi è $q(x)$. Ha ancora senso andare a cercare le radici di $q(x)$? Per il ragionamento del post precedente, io dico di no, right?
no è sbagliato. Perché non sai che molteplicità hanno quelle radici.
Supponiamo di avere $f \in K[x]$ con grado 4. E $a,b$ radici di $f$. Allora $f=(x-a)(x-b) q(x)$ dove $deg(q) =2$. Può succedere che $q(a)=0=q(b)$ e allora, se accade questo, $q$ è a sua volta irriducibile..
Va forse detto questo ,
Se si conoscono tutte le radici di $f(x)$ , allora le radici dei fattori vanno ricercate in quelle di $f$.
Se valesse il tuo ragionamento, allora preso il polinomio $f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1 \in Q[x]$ si verifica facilmente che l'unica radice razionale di $f(x)$ è $1$ e quindi $f(x)=(x-1) j(x)$ dove $j(x)$ ha grado 3. Secondo il tuo ragionamento, allora $j(x)$ non ha radici in $Q[x]$ (quindi ivi irridubile). Tuttavia è errato. In quanto $f(x)=(x-1)^4$
Supponiamo di avere $f \in K[x]$ con grado 4. E $a,b$ radici di $f$. Allora $f=(x-a)(x-b) q(x)$ dove $deg(q) =2$. Può succedere che $q(a)=0=q(b)$ e allora, se accade questo, $q$ è a sua volta irriducibile..
Va forse detto questo ,
Se si conoscono tutte le radici di $f(x)$ , allora le radici dei fattori vanno ricercate in quelle di $f$.
Se valesse il tuo ragionamento, allora preso il polinomio $f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1 \in Q[x]$ si verifica facilmente che l'unica radice razionale di $f(x)$ è $1$ e quindi $f(x)=(x-1) j(x)$ dove $j(x)$ ha grado 3. Secondo il tuo ragionamento, allora $j(x)$ non ha radici in $Q[x]$ (quindi ivi irridubile). Tuttavia è errato. In quanto $f(x)=(x-1)^4$
Avevo dimenticato di dire questo particolare (supponiamo di conoscere ciascuna delle radici con la relativa molteplicità) ma era ovvio Fra beh datti all'Analisi un po' e preparami qualche esercizio "bello" sui polinomi 
beh datti all'Analisi un po' e preparami qualche esercizio "bello" sui polinomi
(se conosciamo le radici con le relative molteplicità allora non ha senso! :p mi sto dando all'analisi :p.
Te ne fornisco almeno 2:
1) Sia $p$ un numero primo. E sia $f(x) = 1+x+x^2+....+x^(p-1) \in Q[x]$. Mostrare che $f$ è irriducibile sui razionali. (livello medio alto)
2) Sia $p$ un primo. Ed $n \in NN\\{0}$ Mostrare che $x^n-p$ è irriducibile sui razionali. ( Banale) <-- Supposizione dopo ore di studio XD. Questo esercizio è abbastanza interessante, in quanto dimostrando questo fatto , a meno di non spararla grossa, dimostri in maniera equivalente che la radice n-esima di $p$ non è razionale e quindi mostreresti l'irrazionalità di $\root(n)p$
Te ne fornisco almeno 2:
1) Sia $p$ un numero primo. E sia $f(x) = 1+x+x^2+....+x^(p-1) \in Q[x]$. Mostrare che $f$ è irriducibile sui razionali. (livello medio alto)
2) Sia $p$ un primo. Ed $n \in NN\\{0}$ Mostrare che $x^n-p$ è irriducibile sui razionali. ( Banale) <-- Supposizione dopo ore di studio XD. Questo esercizio è abbastanza interessante, in quanto dimostrando questo fatto , a meno di non spararla grossa, dimostri in maniera equivalente che la radice n-esima di $p$ non è razionale e quindi mostreresti l'irrazionalità di $\root(n)p$
Mmmh...il secondo è banale 
basta utilizzare il Criterio di Eisenstein. Sul primo provo a riflettere un po'
basta utilizzare il Criterio di Eisenstein. Sul primo provo a riflettere un po'
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