[EX] - $\phi : ZZ_12\to ZZ_m \times ZZ_n$ ben definita?
Salve ragazzi 
Ho un dubbietto su questo esercizio.
Esercizio. Siano $n,m$ interi $\ge 2$ e sia $\phi : ZZ_12\to ZZ_m \times ZZ_n$ tale che $[x]_12\mapsto ([x]_m,[x]_n)$. Quante sono le coppie $(m,n)$ per le quali $\phi$ risulta ben definita?
Mah...Supponiamo che $\phi$ sia ben definita. Allora $\forall x,y\in ZZ$ devo avere che
\[[x]_{12}=[y]_{12}\implies ([x]_{m},[x]_{n})=([y]_{m},[y]_{n})\]
da cui deduco che $m|(x-y)$ e $n|(x-y)$. Ciò equivale a dire che se $x=y+12k$ ($k\in ZZ$), allora $m|12k$ e $n|12k$. In particolare devo avere che $m|12$ e $n|12$. Quindi $m,n$ devono essere scelti tra i divisori $\ge 2$ di $12$, ovvero $m,n\in\{2,3,4,6,12\}$, e di conseguenza le coppie $(m,n)$ che soddisfano la richiesta sono $5^2=25$. Che ne dite?
Un'altra richiesta è la seguente:
• in corrispondenza di $(m,n)=(6,4)$ determinare una controimmagine di $([3]_6,[1]_4)$.
Procedo così:
\[\exists x\in \mathbb{Z}\,: \, \varphi([x]_{12})=([3]_6,[1]_4) \iff \exists x\in \mathbb{Z}\, :\,
\begin{cases}
[x]_6=[3]_6\\
[x]_4=[1]_4
\end{cases}
\]
Sto dunque cercando una soluzione del sistema di congruenze
\[\begin{cases}
x\equiv 3\mod 6\\
x\equiv 1 \mod 4
\end{cases}
\]
Dalla prima equazione deduco $x=3+6h$ ($h\in ZZ$), e sostituendo nella seconda ho
\[3+6h\equiv 1\mod 4\iff 2h\equiv 2 \mod 4\iff h\equiv 1\mod 2\iff h=2k+1\qquad (k\in \mathbb{Z})\]
Quindi $x=3+6(2k+1)=9+12k$ per qual che $k$ intero. Per $k=0$, ho che $x_0=9$ è una controimmagine di $([3]_6,[1]_4)$. Right?
Grazie in anticipo
Ho un dubbietto su questo esercizio.
Esercizio. Siano $n,m$ interi $\ge 2$ e sia $\phi : ZZ_12\to ZZ_m \times ZZ_n$ tale che $[x]_12\mapsto ([x]_m,[x]_n)$. Quante sono le coppie $(m,n)$ per le quali $\phi$ risulta ben definita?
Mah...Supponiamo che $\phi$ sia ben definita. Allora $\forall x,y\in ZZ$ devo avere che
\[[x]_{12}=[y]_{12}\implies ([x]_{m},[x]_{n})=([y]_{m},[y]_{n})\]
da cui deduco che $m|(x-y)$ e $n|(x-y)$. Ciò equivale a dire che se $x=y+12k$ ($k\in ZZ$), allora $m|12k$ e $n|12k$. In particolare devo avere che $m|12$ e $n|12$. Quindi $m,n$ devono essere scelti tra i divisori $\ge 2$ di $12$, ovvero $m,n\in\{2,3,4,6,12\}$, e di conseguenza le coppie $(m,n)$ che soddisfano la richiesta sono $5^2=25$. Che ne dite?
Un'altra richiesta è la seguente:
• in corrispondenza di $(m,n)=(6,4)$ determinare una controimmagine di $([3]_6,[1]_4)$.
Procedo così:
\[\exists x\in \mathbb{Z}\,: \, \varphi([x]_{12})=([3]_6,[1]_4) \iff \exists x\in \mathbb{Z}\, :\,
\begin{cases}
[x]_6=[3]_6\\
[x]_4=[1]_4
\end{cases}
\]
Sto dunque cercando una soluzione del sistema di congruenze
\[\begin{cases}
x\equiv 3\mod 6\\
x\equiv 1 \mod 4
\end{cases}
\]
Dalla prima equazione deduco $x=3+6h$ ($h\in ZZ$), e sostituendo nella seconda ho
\[3+6h\equiv 1\mod 4\iff 2h\equiv 2 \mod 4\iff h\equiv 1\mod 2\iff h=2k+1\qquad (k\in \mathbb{Z})\]
Quindi $x=3+6(2k+1)=9+12k$ per qual che $k$ intero. Per $k=0$, ho che $x_0=9$ è una controimmagine di $([3]_6,[1]_4)$. Right?
Grazie in anticipo
Risposte
La seconda parte dell'esercizio mi sembra corretta.
Controllato anche la prima dagli appunti del Prof 
tutto ok, grazie Kash.
tutto ok, grazie Kash.
Mi manca questa parte qui però 
Determinare un elemento di $ZZ_6\times ZZ_4$ che non ha controimmagine.
Vabé proviamo la solita tiritera Supponiamo che $([a]_6,_4)$ (con $a,b$ interi) abbia una controimmagine. Allora $\exists x\in ZZ$ tale che $([a]_6,_4)=\phi([x]_12)=([x]_6,[x]_4)$, ovverosia
\[\begin{cases}
x\equiv a\mod 6\\
x\equiv b\mod 4
\end{cases}
\]
Dalla prima deduco $x=a+6k$ per un certo intero $k$. Sostituendo nella seconda ho
\[a+6k\equiv b\mod 4\iff a-b\equiv 6k\equiv 2k \mod 4\iff a-b=6k+2k'=2(3k+k')\qquad (k'\in \mathbb{Z})\]
Deduco che $a-b$ è un numero pari. Mi basta quindi scegliere, per esempio, $([a]_6,_4)=([4]_6,[1]_4)$ per avere un elemento che non ha controimmagine. Giusto?
Determinare un elemento di $ZZ_6\times ZZ_4$ che non ha controimmagine.
Vabé proviamo la solita tiritera
Supponiamo che $([a]_6,_4)$ (con $a,b$ interi) abbia una controimmagine. Allora $\exists x\in ZZ$ tale che $([a]_6,_4)=\phi([x]_12)=([x]_6,[x]_4)$, ovverosia\[\begin{cases}
x\equiv a\mod 6\\
x\equiv b\mod 4
\end{cases}
\]
Dalla prima deduco $x=a+6k$ per un certo intero $k$. Sostituendo nella seconda ho
\[a+6k\equiv b\mod 4\iff a-b\equiv 6k\equiv 2k \mod 4\iff a-b=6k+2k'=2(3k+k')\qquad (k'\in \mathbb{Z})\]
Deduco che $a-b$ è un numero pari. Mi basta quindi scegliere, per esempio, $([a]_6,_4)=([4]_6,[1]_4)$ per avere un elemento che non ha controimmagine. Giusto?
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