[EX] - Permutazioni e gruppi ciclici
Salve ragazzi. Ho in $S_{18}$ due permutazioni $\sigma$ e $\tau$ di ordine rispettivamente 60 e 120. Posto $H:=<\sigma>\cap<\tau>$, devo provare che $|H|=30$.
Io ho ragionato così: poiché $<\sigma>$ e $<\tau>$ sono sottogruppi, allora la loro intersezione, ovverosia $H$ è ancora un sottogruppo di $S_{18}$. Inoltre, essendo $H\subseteq<\tau>\le S_{18}$, ho che $H\le<\tau>$ (analogamente si ha $H\le<\sigma>$). Essendo $H$ un sottogruppo di $<\tau>$, allora $H$ è ciclico ed è generato da un elemento del tipo $\tau^{{o(\tau)}/k}$, dove $k$ è l'ordine di $H$ che sicuramente divide sia $o(\tau)$ che $o(\sigma)$. Quindi $k$ divide $\text{MCD}(o(\tau,o(\sigma))=60$.
A questo punto, poiché so per certo che $H=<\tau^{{o(\tau)}/k}>$ per un certo $k$ divisore di $60$, e poiché ogni $\forall n|o(\tau)=|<\tau>|$ esiste uno ed un solo sottogruppo ciclico di $<\tau>$ di ordine $n$, allora vale l'equivalenza
\[|H|=30\iff H=\langle \tau^{120/30}\rangle=\langle \tau^4\rangle\]
Come provo adesso che $H=<\tau^4>$? E' sufficiente far vedere che $\tau^4\in<\sigma>$? In caso affermativo, perché?
Io ho ragionato così: poiché $<\sigma>$ e $<\tau>$ sono sottogruppi, allora la loro intersezione, ovverosia $H$ è ancora un sottogruppo di $S_{18}$. Inoltre, essendo $H\subseteq<\tau>\le S_{18}$, ho che $H\le<\tau>$ (analogamente si ha $H\le<\sigma>$). Essendo $H$ un sottogruppo di $<\tau>$, allora $H$ è ciclico ed è generato da un elemento del tipo $\tau^{{o(\tau)}/k}$, dove $k$ è l'ordine di $H$ che sicuramente divide sia $o(\tau)$ che $o(\sigma)$. Quindi $k$ divide $\text{MCD}(o(\tau,o(\sigma))=60$.
A questo punto, poiché so per certo che $H=<\tau^{{o(\tau)}/k}>$ per un certo $k$ divisore di $60$, e poiché ogni $\forall n|o(\tau)=|<\tau>|$ esiste uno ed un solo sottogruppo ciclico di $<\tau>$ di ordine $n$, allora vale l'equivalenza
\[|H|=30\iff H=\langle \tau^{120/30}\rangle=\langle \tau^4\rangle\]
Come provo adesso che $H=<\tau^4>$? E' sufficiente far vedere che $\tau^4\in<\sigma>$? In caso affermativo, perché?
Risposte
chi sono $\sigma$ e $\tau$?
Perché non mi sembra vero che in generale se $\sigma$ ha ordine $60$ e $\tau$ ha ordine $120$ allora l'intersezione ha ordine $30$.
Controesempio : (a meno di sviste.. dovrebbe renderti l'idea.)
$\sigma=(1,2,3)(4,5,6,7)(8,9,10,11,12)$
$\tau=(1,2,13,14,15,16,17,18)(5,6,7)(3,4,8,9,10)$
Controesempio : (a meno di sviste.. dovrebbe renderti l'idea.)
$\sigma=(1,2,3)(4,5,6,7)(8,9,10,11,12)$
$\tau=(1,2,13,14,15,16,17,18)(5,6,7)(3,4,8,9,10)$
Che te ne fai? 
Mi interessa il lato teorico, non quello pratico...comunque sono
\[
\sigma=(1,12,2,14)(3,8,9,5,11)(4,10,7)(6,13)(15,17,16,18)\\
\tau= (1,15,12,17,2,16,14,18)(3,5,8,11,9)(4,7,10)
\]
EDIT: ma infatti non mi si chiedeva di provarlo in generale
Mi interessa il lato teorico, non quello pratico...comunque sono\[
\sigma=(1,12,2,14)(3,8,9,5,11)(4,10,7)(6,13)(15,17,16,18)\\
\tau= (1,15,12,17,2,16,14,18)(3,5,8,11,9)(4,7,10)
\]
EDIT: ma infatti non mi si chiedeva di provarlo in generale
Il lato teorico non c'è, devi sporcarti le mani. Non puoi limitarti a giocare con gli ordini, le cose variano da caso a caso.
Forse non ci siamo capiti...
"Plepp":
Come provo adesso che $H=<\tau^4>$? E' sufficiente far vedere che $\tau^4\in<\sigma>$? In caso affermativo, perché?
"Plepp":
Che te ne fai?
\[
\sigma=(1,12,2,14)(3,8,9,5,11)(4,10,7)(6,13)(15,17,16,18)\\
\tau= (1,15,12,17,2,16,14,18)(3,5,8,11,9)(4,7,10)
\]
EDIT: ma infatti non mi si chiedeva di provarlo in generale
Sembrava che la tua dimostrazione di sopra volesse portare un discorso generale .. visto che non avevi specificato chi erano $\sigma $e $ \tau$... quindi ti cadeva tutta con un semplice controesempio.. sii più preciso in futuro, porfavor
.Ad occhio e croce penso però che tu abbia ragione, $H:=<\sigma>nn<\tau>=$$<\tau^4>$
Nota che ${6,13}$ non è mosso da $\tau$ quindi non ci da contributo. Eleviamo al quadrato $\sigma$ e otteniamo che
$\sigma^2=(1,2)(12,14)(3,9,11,8,5)(4,7,10)(15,16)(17,18)$
Siano $\tau_1=(1,15,12,17,2,16,14,18) , \tau_2=(3,5,8,11,9),\tau_3=(4,7,10)$ i cicli di $\tau$.
Notiamo che $\tau_1^4=(1,2)(12,14)(15,16)(17,18) , \tau_2^4=(3,9,11,8,5) , \tau_3^1=(4,7,10)$ posto $i=m.c.m(4,1,4)=4$ si ha che $\tau^4=\sigma^2 => \tau^4 \in H$. Ma è di facile verifica che i più piccoli interi positivi $i,j $ tali che $\sigma^i=\tau^j$ sono $i=2$ e $j=4$.. quindi, non può che essere $H sube <\tau^4>$ cioè $H=<\tau^4>$
"Kashaman":
Ma è di facile verifica che i più piccoli interi positivi $i,j $ tali che $\sigma^i=\tau^j$ sono $i=2$ e $j=4$.. quindi, non può che essere $H sube <\tau^4>$ cioè $H=<\tau^4>$
Ecco appunto! Mi pareva strano che non fosse necessario dimostrare questo fatto! Tu come faresti? (in questo caso è semplice...ma se mi ritrovo con $i=20$ e $j=25$ non è uno scherzo fare i conti
)
Potresti notare che se $o(\sigma)=60$ e $o(\tau) = 120$ allora $o(<\sigma>nn<\tau>)|60$ dove $60=g.c.d(120,60)$
dunque se $\sigma^i=\tau^j$ (1) allora $i,j | 60$. La più piccola coppia $(i,j)$che verifica (1) è $(2,4)$. quindi $H=<\sigma^2>=<\tau^4>$...
Anche se penso che alla fin fine sta tiritera si possa evitare, giustificando in maniera opportuna , guardando in faccia come $\sigma$ e $\tau$ muovono i loro elementi.. non c'è una tecnica standard che io sappia, solo un po di occhio e di pratica.
dunque se $\sigma^i=\tau^j$ (1) allora $i,j | 60$. La più piccola coppia $(i,j)$che verifica (1) è $(2,4)$. quindi $H=<\sigma^2>=<\tau^4>$...
Anche se penso che alla fin fine sta tiritera si possa evitare, giustificando in maniera opportuna , guardando in faccia come $\sigma$ e $\tau$ muovono i loro elementi.. non c'è una tecnica standard che io sappia, solo un po di occhio e di pratica.
"Kashaman":
se $\sigma^i=\tau^j$ (1) allora $i,j | 60$.
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