[Ex] Gruppo Abeliano

[Gi81]

Esercizio: Sia $(G,+)$ gruppo.
Sia $alpha in text{Aut} (G,+)$ tale che $(\text{id}-alpha) in text{Aut}(G,+)$.
Dimostrare che $G$ è abeliano

A scanso di equivoci, la funzione $\text{id}-alpha$ è così definita: $(\text{id}-alpha)(x)= x-alpha(x)$ per ogni $x in G$.

[gugo82]

Non credo sia chiaro il testo.

L'esercizio chiede di dimostrare che l'esistenza di \(\alpha \in \operatorname{Aut}(G)\) tale che \(\operatorname{id}-\alpha \in \operatorname{Aut} (G)\) implica \(G\) abeliano?

[mistake89]

Io credo invece che significhi: Supponendo che esista un automorfismo del gruppo $alpha$ tale che $id-alpha$ sia un automorfismo, dimostrare che $G$ è abeliano.
Almeno io sto provando a risolverlo così

[Gi81]

Quale sarebbe la differenza tra le vostre due interpretazioni?

In ogni caso sono corrette.
L'ipotesi è che esiste $alpha$ automorfismo sul gruppo $G$ tale che $id -alpha$ è anch'esso un automorfismo sul gruppo $G$.


@gugo: perchè non credi che sia chiaro?

[mistake89]

Si vabbè, ho sbagliato io a leggere il post di gugo, perdonatemi.

[Gi81]

mistake, ma tu quando hai letto il testo hai avuto problemi di comprensione? Non era chiaro?

[mistake89]

No, no. Io subito ho pensato che fosse quella la traccia. Tutto chiaro!
Ma sarà che per gli analisti c'è troppa poca carne al fuoco -si scherza, eh-

[Gi81]

Ok grazie

[gugo82]

"Gi8":@gugo: perchè non credi che sia chiaro?

Per me è il "Sia \(\alpha\) etc..." che è ambiguo.

Quando scrivo l'enunciato di un teorema o il testo di un esercizio cerco empre di metterlo nella forma seguente: "Assunti preliminari e notazioni", "Ipotesi", "Tesi".
Perciò il testo del tuo esercizio l'avrei scritto così:

Sia \((G,+)\) un gruppo.
Dimostrare che l'esistenza di un \(\alpha \in \operatorname{Aut} (G)\) tale che \(\operatorname{id}-\alpha \in \operatorname{Aut} (G)\) implica che \(G\) è abeliano.
È vero anche il viceversa?

oppure così:

Sia \((G,+)\) un gruppo.
Provare che \(G\) è abeliano se è soddisfatta la seguente condizione:
\[
\exists \alpha \in \operatorname{Aut} (G) :\quad \operatorname{id}-\alpha \in \operatorname{Aut} (G)\; .
\]
È vero anche il viceversa?

[N.B.: per l'operazione di \(G\) non si dovrebbe nemmeno usare la notazione additiva, perchè essa è di norma usata per denotare l'operazione in gruppi che si assume già abeliani.]

[perplesso1]

Siano $x$ e $y$ due elementi di $G$

$x - \alpha (x) + y - \alpha(y) = (id - \alpha) (x) + (id -\alpha) (y) = (id - \alpha) (x+y) =$
$ = x+y - \alpha (x+y)= x+y -\alpha (y) -\alpha (x)$

Cancellando $x$ a sinistra e usando opportunamente le proprietà degli omomorfismi si ottiene

$\alpha ( -x) + (id- \alpha) (y) = (id-\alpha)(y) + \alpha (-x)$

Dall'arbitrarietà di $x$ e $y$ e dalla biettività di $\alpha$ e $(id- \alpha)$ segue la tesi.

Che ve ne pare?

[mistake89]

Se è giusta -e a me pare di sì- mi sparo. Io stavo pensando a qualcosa che avesse a che fare con automorfismi interni, gruppi quozienti, centro...

[perplesso1]

A chi lo dici, io ieri stavo cercando di dare una struttura di campo ad $AutG$ ... xD poi stamattina mentre facevo i calcoli più impossibili mi è venuta questa idea.

[Gi81]

Sì, è corretto. Mi spiace di avervi deluso
Ora si potrebbe provare a vedere se è vero il viceversa.


@gugo82: hai ragione, la scrittura è un po' ambigua. Ti ringrazio, starò attentissimo in futuro

[perplesso1]

"Gi8":Ora si potrebbe provare a vedere se è vero il viceversa.

Mi sembra falso, considera gli automorfismi di $ZZ_4$, ce ne sono solo due $id: 1 -> 1$ e $\alpha : 1 -> 3$ ma $(id -\alpha )$ non è un automorfismo infatti $(id- \alpha )(1) = 1-3=-2=2$ che non è un generatore di $ZZ_4$.