[EX] Esplicitare gruppi di Galois
Ciao, amici! Non mi piace disturbare per esercizi di natura così "numerica", ma, dato che il mio dubbio riguarda proprio il come procedere nel caso generale di polinomi qualsiasi, torno ancora una volta qui...
Vorrei trovare i gruppi di Galois di questi polinomi
a) $X^3+6X^2+11X+7\in\mathbb{Q}[X]$
b) $X^3+3X^2-1\in\mathbb{Q}[X]$
c) \(X^4-X^2-3\in\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]\)
d) \(X^4+7X^2-3\in\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}[X]\)
e so che è necessario imporre che la restrizione di ogni gruppo di Galois alle $n$ radici nel campo di spezzamento $L$ di un polinomio su $K$ sia isomorfa ad un sottogruppo del gruppo delle permutazioni \(\mathfrak{S}_n\) ed è ovviamente necessario che ogni automorfismo in \(\text{Gal}(L/K)\) lasci fisso $K$, ma, al di là di questo non vado all'atto pratico...
Grazie $\infty$ a tutti!!!
Vorrei trovare i gruppi di Galois di questi polinomi
a) $X^3+6X^2+11X+7\in\mathbb{Q}[X]$
b) $X^3+3X^2-1\in\mathbb{Q}[X]$
c) \(X^4-X^2-3\in\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]\)
d) \(X^4+7X^2-3\in\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}[X]\)
e so che è necessario imporre che la restrizione di ogni gruppo di Galois alle $n$ radici nel campo di spezzamento $L$ di un polinomio su $K$ sia isomorfa ad un sottogruppo del gruppo delle permutazioni \(\mathfrak{S}_n\) ed è ovviamente necessario che ogni automorfismo in \(\text{Gal}(L/K)\) lasci fisso $K$, ma, al di là di questo non vado all'atto pratico...
Grazie $\infty$ a tutti!!!
Risposte
Ti consiglio di dare un'occhiata a questa dispensa che esplicita i ragionamenti "teorici":
http://dmf.unicatt.it/~franchi/istAlg.pdf
http://dmf.unicatt.it/~franchi/istAlg.pdf
$\infty$ grazie, Key!!!!! Per quanto riguarda polinomi in $\mathbb{Q}[X]$ comincio a districarmici, ma in \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]\) non so ancora come comportarmi: nel caso di polinomi di quarto grado con termini di grado dispari nulli su \(\mathbb{Q}\) o \(\mathbb{R}\) posso ricondurmi ad un'equazione di tipo \((X^2-a)^2-b\), ma su campi di questo tipo non saprei come agire ed oltretutto non posso considerare radici in un sottocampo di \(\mathbb{C}\)...
Posto una "quasi" soluzione del punto c.
sono anche per me i primi esercizi sui gruppi di galois, quindi verificate bene che le cose abbiamo senso.
sia $E$ il campo di spezzamento del polinomio \( f(x)=X^4-X^2-3\in\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X] \)
e $F=mathbb{Z}/{5\mathbb{Z}}$
1)$F \subset \E$ è un'estensione di Galois, in quanto campo di spezzamento di un polinomio separabile. (è separabile in quanto, ad esempio, $f(x)$ ha grado 4 mentre il campo ha caratterista 5.)
Questo mi dice che $|Gal(E|F)|= [E]$
2) con un pò di conti si mostra che il polinomio $f(x)$ è irrudicibile, facendo vedere che non ha radici e che non esistono due polinomi di secondo grado tali che il loro prodotto è $f(x)$
3)sia $\alpha \in E$ una radice di $f(x)$. Allora in $E[x] f(x)=(x-\alpha)(x+\alpha)(x^2+3/\alpha^2)$
Ora bisognerebbe capire se le radici di $(x^2+3/\alpha^2)$ stanno in $F(\alpha)$. direi di no, ma non sono riuscito a dimostrarlo, se riesci a farlo mi fai felice.
nel resto del discorso suppongo di aver dimostrato che le radici di $(x^2+3/\alpha^2)$ non stanno in $F(\alpha)$
4)sia $\beta\in E$ radice di $(x^2+3/\alpha^2)=(x-\beta)(x+\beta)$. Allora sia ha $E=F(\alpha,\beta)$. Quindi $[E]=[F(\alpha,\beta):F]=[F(\alpha,\beta):F(\alpha)][F(\alpha):F]=2*4=8=|Gal(E|F)|$
5)Ora basta notare che l'estensione intermedia $F\subsetF(\alpha)$ non è normale, in quanto non spezza il polinomio minimo di di $\alpha$. Quindi $Gal(E|F)$ ha un sottogruppo non normale, quindi non è abeliano. ma di gruppi di ordine 8 non abeliani ce ne sono solo due: i quaternioni e il gruppo diedrale. Ma nel gruppo dei quaternioni tutti i sottogruppi sono normali, quindi $Gal(E|F)\congD_4$.
Sarebbe carino disegnarne il reticolo dei sottocampi e capire come agiscono le varie permutazioni, appena ho un pò di tempo provo a farlo.
Dimmi se le cose ti tornano e se hai bisogno di maggiori dettagli.
Notiamo anche che nel caso in cui $f(x)$ si spezzasse completamente su $F(\alpha)$ l'estensione avrebbe grado 4, il gruppo di Galois sarebbe isormorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine 2, in quanto ci sarebbero sicuramente due elementi di ordine due (le due applicazioni che ti mandano una radice nella radice cambiata di segno, che sarebbe ancora una radice)
sono anche per me i primi esercizi sui gruppi di galois, quindi verificate bene che le cose abbiamo senso.
sia $E$ il campo di spezzamento del polinomio \( f(x)=X^4-X^2-3\in\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X] \)
e $F=mathbb{Z}/{5\mathbb{Z}}$
1)$F \subset \E$ è un'estensione di Galois, in quanto campo di spezzamento di un polinomio separabile. (è separabile in quanto, ad esempio, $f(x)$ ha grado 4 mentre il campo ha caratterista 5.)
Questo mi dice che $|Gal(E|F)|= [E]$
2) con un pò di conti si mostra che il polinomio $f(x)$ è irrudicibile, facendo vedere che non ha radici e che non esistono due polinomi di secondo grado tali che il loro prodotto è $f(x)$
3)sia $\alpha \in E$ una radice di $f(x)$. Allora in $E[x] f(x)=(x-\alpha)(x+\alpha)(x^2+3/\alpha^2)$
Ora bisognerebbe capire se le radici di $(x^2+3/\alpha^2)$ stanno in $F(\alpha)$. direi di no, ma non sono riuscito a dimostrarlo, se riesci a farlo mi fai felice.
nel resto del discorso suppongo di aver dimostrato che le radici di $(x^2+3/\alpha^2)$ non stanno in $F(\alpha)$
4)sia $\beta\in E$ radice di $(x^2+3/\alpha^2)=(x-\beta)(x+\beta)$. Allora sia ha $E=F(\alpha,\beta)$. Quindi $[E]=[F(\alpha,\beta):F]=[F(\alpha,\beta):F(\alpha)][F(\alpha):F]=2*4=8=|Gal(E|F)|$
5)Ora basta notare che l'estensione intermedia $F\subsetF(\alpha)$ non è normale, in quanto non spezza il polinomio minimo di di $\alpha$. Quindi $Gal(E|F)$ ha un sottogruppo non normale, quindi non è abeliano. ma di gruppi di ordine 8 non abeliani ce ne sono solo due: i quaternioni e il gruppo diedrale. Ma nel gruppo dei quaternioni tutti i sottogruppi sono normali, quindi $Gal(E|F)\congD_4$.
Sarebbe carino disegnarne il reticolo dei sottocampi e capire come agiscono le varie permutazioni, appena ho un pò di tempo provo a farlo.
Dimmi se le cose ti tornano e se hai bisogno di maggiori dettagli.
Notiamo anche che nel caso in cui $f(x)$ si spezzasse completamente su $F(\alpha)$ l'estensione avrebbe grado 4, il gruppo di Galois sarebbe isormorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine 2, in quanto ci sarebbero sicuramente due elementi di ordine due (le due applicazioni che ti mandano una radice nella radice cambiata di segno, che sarebbe ancora una radice)
$\infty$ grazie beltzer!!!
Scusa la mia ignoranza: come hai ottenuto la fattorizzazione in (3)?
In (4) mi pare che tu intenda che \([F(\alpha,\beta):F(\alpha)]=2\) perché $X^2+3/\alpha^2$ è il polinomio minimo di $\beta$ in \(F(\alpha)[X]\), o traviso? Se sì, come vedi che è in effetti il polinomio minimo?
In (5) utilizzi poi strumenti a me non familiari... Mi sa che per questi esercizi su questi campi "esotici", anche se mi piacciono particolarmente, devo aspettare di avere maggiori conoscenze teoriche... Di gruppi diedrali so solo quel pochissimo che dice il Sernesi in Geometria 1 e di quaternioni so praticamente solo... che esistono.
Scusa la mia ignoranza: come hai ottenuto la fattorizzazione in (3)?
In (4) mi pare che tu intenda che \([F(\alpha,\beta):F(\alpha)]=2\) perché $X^2+3/\alpha^2$ è il polinomio minimo di $\beta$ in \(F(\alpha)[X]\), o traviso? Se sì, come vedi che è in effetti il polinomio minimo?
In (5) utilizzi poi strumenti a me non familiari... Mi sa che per questi esercizi su questi campi "esotici", anche se mi piacciono particolarmente, devo aspettare di avere maggiori conoscenze teoriche... Di gruppi diedrali so solo quel pochissimo che dice il Sernesi in Geometria 1 e di quaternioni so praticamente solo... che esistono.
"DavideGenova":
$\infty$ grazie beltzer!!!
Scusa la mia ignoranza: come hai ottenuto la fattorizzazione in (3)?
Penso di possa fare sempre con l'algoritmo della divisione, in questo caso ho notato che se $\alpha$ era una radice anche $-\alpha$ era una radice. quindi ho cercato un polinomio $g(x)$ di secondo grado tale che $g(x)(x-\alpha)(x+\alpha)=f(x)$
"DavideGenova":
In (4) mi pare che tu intenda che \([F(\alpha,\beta):F(\alpha)]=2\) perché $X^2+3/\alpha^2$ è il polinomio minimo di $\beta$ in \(F(\alpha)[X]\), o traviso? Se sì, come vedi che è in effetti il polinomio minimo?
non travisi. ma un polinomio di secondo grado è irriducibile se e solo se non ha radici. ho supposto che $\beta$ non fosse in $F(\alpha)$. Anzi, riesci a dimostrarlo? quindi $X^2+3/\alpha^2$ è un polinomio monico irriducibile, perchè non ha radici in $F(\alpha)$, e ha $\beta$ come radice. Quindi è il polinomio minimo di $\beta$.
in (5) utilizzi poi strumenti a me non familiari... Mi sa che per questi esercizi su questi campi "esotici", anche se mi piacciono particolarmente, devo aspettare di avere maggiori conoscenze teoriche... Di gruppi diedrali so solo quel pochissimo che dice il Sernesi in Geometria 1 e di quaternioni so praticamente solo... che esistono.
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_gruppi_piccoli.
Per fare questi esercizi è comodo sapere come possono essere i gruppi di ordine piccolo. ti consiglio comunque di dare almeno un occhiata alla classificazione fino all'ordine 15.
anche perchè la vedo dura capire direttamente come agisce il gruppo di Galois sulle radici, senza sapere neanche chi è.
Tra l'altro il gruppo diedrale è il gruppo delle simmetrie del quadrato. La cosa carina è che possiamo immaginarci le quattro radici come gli spigoli del quadrato e vedere geometricamente come agisce il gruppo di Galois!
\(\infty\) grazie ancora!!! Molto, molto interessante...
Grazie anche a te, Martino!!! Stackexchange è una miniera di cose interessanti...
Il gruppo di Galois di un'estensione di campi finiti e' sempre ciclico.
Non esiste quindi che $Gal(E$/$F)$ e' il gruppo diedrale.
Non esiste quindi che $Gal(E$/$F)$ e' il gruppo diedrale.
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