[EX] - Divisibilità: elementi associati

[Plepp]

Ciao ragazzi,
sono alle prese con questo (apparentemente ) semplice esercizio.

Sia $A$ un anello commutativo unitario e siano $a,b\in A$. Provare che $a,b$ sono associati (ovvero sono tali che $b|a$ e $a|b$) se e solo se hanno gli stessi multipli e gli stessi divisori.

Provare la $(\implies)$ è semplice. Sto incontrando difficoltà con la $(\Leftarrow)$. Suppongo che $a$ e $b$ abbiano gli stessi divisori e gli stessi multipli, ovvero, presi $d,m\in A$ ho che
\[d|a\iff d|b\qquad a|m\iff b|m\]
Esistono quindi $\lambda,\mu,\lambda',\mu' \in A$ tali che
\[a=\lambda d\qquad b=\mu d\qquad\qquad m=\lambda'a \qquad m=\mu'b\]
ma da queste identità non riesco a concludere granché Idee?

EDIT: ...premesso che gli unici strumenti di cui posso disporre sono le definizioni di divisibilità e di elementi associati

[perplesso1]

La butto lì (magari è una cazzata xD) ... cmq supposto che $a$ e $b$ hanno gli stessi divisori e multipli, non potrebbe essere che $a$ è un divisore di se stesso e quindi è un divisore di $b$ e viceversa $b$ è un divisore di se stesso e quindi di $a$ ?

[Plepp]

Geniale! XD Sì, funziona