[EX] - Coppie $(a,n)$ per le quali $\phi$ è un omomorfismo
Esercizio. Sia $\phi_{a,n} : ZZ\to Z_n$ l'applicazione tale che, $\forall z=x+iy\in ZZ$, $phi_{a,n}(z)=[a(x^2+y^2)]_n$. Si dica per quali interi dispari $a$ e per quali interi $n>1$ l'applicazione $\phi_{a,n}$ è un omomorfismo di anelli.
Vediamo un po'. Parto dal prodotto. Consideriamo $z,z'\in ZZ$, $z=x+iy$ e $z'=x'+iy'$. Osservo che
\[\varphi(z)=[a\, ||z||]_n=[a]_n[||z||]_n\]
Ho
\[\varphi(z\cdot z')=[a]_n[||zz'||]_n=[a]_n[||z||\cdot||z'||]_n\]
Ponendo $\phi(z\cdot z')=\phi(z)\phi(z')=[a]^2 [||z||\cdot||z'||]_n$, deduco che dev'essere
\[[a]^2_n=[a]_n\tag{1}\]
Passiamo alla somma. Si ha
\[\varphi(z+z')=[a]_n[(x+x')^2+(y+y')^2]=[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2+2(xx'+yy')]_n\]
mentre
\[\varphi(z)+\varphi(z')=[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2]_n\]
Imponendo $\phi(z+z')=\phi(z)+\phi(z')$ ottengo
\[
\begin{split}
[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2+2(xx'+yy')]_n=[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2]_n\iff \\
\iff[a]_n[2(xx'+yy')]_n=[0]_n\iff [2a]_n[xx'+yy']_n=[0]_n\\
\end{split}
\]
Dal momento che $x x'+yy'$ può rappresentare un qualsiasi intero, deduco che deve necessariamente essere
\[[2a]_n=[0]_n\tag{2}\]
Da $(1)$ e $(2)$ ottengo il sistema
\[\begin{cases}
2a\equiv 0\mod n\\
a^2\equiv a\mod n
\end{cases}\]
In realtà mi accorgo che il sistema si riduce alla $(1)$: infatti, essendo $a$ dispari, allora $a=2k+1$ per un certo intero $k$ (da cui $4k+2\equiv 0\mod n$). Quindi
\[a^2-a=(2k+1)^2-(2k+1)=2k(2k+1)=k(4k+2)\equiv 0\mod n\]
Pertanto, fissato $a$ dispari, i numeri $n$ che posso scegliere sono tutti e soli i divisori $\ge 2$ di $2a$.
Vi pare corretto?
Vediamo un po'. Parto dal prodotto. Consideriamo $z,z'\in ZZ$, $z=x+iy$ e $z'=x'+iy'$. Osservo che
\[\varphi(z)=[a\, ||z||]_n=[a]_n[||z||]_n\]
Ho
\[\varphi(z\cdot z')=[a]_n[||zz'||]_n=[a]_n[||z||\cdot||z'||]_n\]
Ponendo $\phi(z\cdot z')=\phi(z)\phi(z')=[a]^2 [||z||\cdot||z'||]_n$, deduco che dev'essere
\[[a]^2_n=[a]_n\tag{1}\]
Passiamo alla somma. Si ha
\[\varphi(z+z')=[a]_n[(x+x')^2+(y+y')^2]=[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2+2(xx'+yy')]_n\]
mentre
\[\varphi(z)+\varphi(z')=[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2]_n\]
Imponendo $\phi(z+z')=\phi(z)+\phi(z')$ ottengo
\[
\begin{split}
[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2+2(xx'+yy')]_n=[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2]_n\iff \\
\iff[a]_n[2(xx'+yy')]_n=[0]_n\iff [2a]_n[xx'+yy']_n=[0]_n\\
\end{split}
\]
Dal momento che $x x'+yy'$ può rappresentare un qualsiasi intero, deduco che deve necessariamente essere
\[[2a]_n=[0]_n\tag{2}\]
Da $(1)$ e $(2)$ ottengo il sistema
\[\begin{cases}
2a\equiv 0\mod n\\
a^2\equiv a\mod n
\end{cases}\]
In realtà mi accorgo che il sistema si riduce alla $(1)$: infatti, essendo $a$ dispari, allora $a=2k+1$ per un certo intero $k$ (da cui $4k+2\equiv 0\mod n$). Quindi
\[a^2-a=(2k+1)^2-(2k+1)=2k(2k+1)=k(4k+2)\equiv 0\mod n\]
Pertanto, fissato $a$ dispari, i numeri $n$ che posso scegliere sono tutti e soli i divisori $\ge 2$ di $2a$.
Vi pare corretto?
Risposte
Suvvia ragazzi! Ho bisogno di un appoggio 
[xdom="Martino"]Plepp per favore ricorda il regolamento (articolo 3.4): non si possono fare UP prima di 24 ore. Grazie.[/xdom]
"Plepp":Con $||||$ indichi la norma di $z$ , giusto? Fin qui dovremmo esserci.
Esercizio. Sia $\phi_{a,n} : ZZ\to Z_n$ l'applicazione tale che, $\forall z=x+iy\in ZZ$, $phi_{a,n}(z)=[a(x^2+y^2)]_n$. Si dica per quali interi dispari $a$ e per quali interi $n>1$ l'applicazione $\phi_{a,n}$ è un omomorfismo di anelli.
Vediamo un po'. Parto dal prodotto. Consideriamo $z,z'\in ZZ$, $z=x+iy$ e $z'=x'+iy'$. Osservo che
\[\varphi(z)=[a\, ||z||]_n=[a]_n[||z||]_n\]
Ho
\[\varphi(z\cdot z')=[a]_n[||zz'||]_n=[a]_n[||z||\cdot||z'||]_n\]
Ponendo $\phi(z\cdot z')=\phi(z)\phi(z')=[a]^2 [||z||\cdot||z'||]_n$, deduco che dev'essere
\[[a]^2_n=[a]_n\tag{1}\]
A meno di sviste , è corretto anche questo.
Passiamo alla somma. Si ha
\[\varphi(z+z')=[a]_n[(x+x')^2+(y+y')^2]=[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2+2(xx'+yy')]_n\]
mentre
\[\varphi(z)+\varphi(z')=[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2]_n\]
Imponendo $\phi(z+z')=\phi(z)+\phi(z')$ ottengo
\[
\begin{split}
[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2+2(xx'+yy')]_n=[a]_n[x^2+y^2+x'^2+y'^2]_n\iff \\
\iff[a]_n[2(xx'+yy')]_n=[0]_n\iff [2a]_n[xx'+yy']_n=[0]_n\\
\end{split}
\]
Dal momento che $x x'+yy'$ può rappresentare un qualsiasi intero, deduco che deve necessariamente essere
\[[2a]_n=[0]_n\tag{2}\]
Ehm..? Non capisco dove andare a parare onestamente.
Da $(1)$ e $(2)$ ottengo il sistema
\[\begin{cases}
2a\equiv 0\mod n\\
a^2\equiv a\mod n
\end{cases}\]
In realtà mi accorgo che il sistema si riduce alla $(1)$: infatti, essendo $a$ dispari, allora $a=2k+1$ per un certo intero $k$ (da cui $4k+2\equiv 0\mod n$). Quindi
\[a^2-a=(2k+1)^2-(2k+1)=2k(2k+1)=k(4k+2)\equiv 0\mod n\\
Ah ho capito, scusami. Per ipotesi abbiamo che $a$ è della forma $a=2k+1,k \in ZZ$. Dunque se vale la $1)$ si ha che
$2(2k+1)-=4k+2-=0(modn)$ e quindi $a^2-=a(modn)$ è sempre verificata una volta scelto $a$. Questo volevi dire?.
In tal caso, allora devi ragionare su a).
Hai mostrato che il sistema si riduce all'equazione
$2a-=0(modn)$
Cioè hai da considerare
$2(2k+1)-=0(modn)$ cioè $4k-=-2(modn)$ (1). Per quali $n>1$ (1) ha soluzione? detta $n_0$ tale soluzione, chi è $k$?
Spero di non aver detto fesserie l'esercizio è abbastanza imbroglioso.
$2(2k+1)-=4k+2-=0(modn)$ e quindi $a^2-=a(modn)$ è sempre verificata una volta scelto $a$. Questo volevi dire?.
In tal caso, allora devi ragionare su a).
Hai mostrato che il sistema si riduce all'equazione
$2a-=0(modn)$
Cioè hai da considerare
$2(2k+1)-=0(modn)$ cioè $4k-=-2(modn)$ (1). Per quali $n>1$ (1) ha soluzione? detta $n_0$ tale soluzione, chi è $k$?
Spero di non aver detto fesserie
l'esercizio è abbastanza imbroglioso.
"Kashaman":
In tal caso, allora devi ragionare su a).
E perchè?
Hai mostrato che il sistema si riduce all'equazione
$2a-=0(modn)$
Cioè hai da considerare
$2(2k+1)-=0(modn)$ cioè $4k-=-2(modn)$ (1). Per quali $n>1$ (1) ha soluzione? detta $n_0$ tale soluzione, chi è $k$?
Non mi pare necessario esprimere $n$ in funzione di $a$ e viceversa
Semplicemente, dico che la coppia $(a,n)$ è una tra quelle cercate se e solo se $n|2a$.
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