[EX] Ancora gruppi

[spugna2]

1) Dimostrare che $(ZZ//2ZZ)^4$ è l'unico gruppo di ordine $16$ (a meno di isomorfismo) che ammette un automorfismo di ordine $5$.

2) Trovare, o dimostrare che non esiste, un gruppo non abeliano di ordine $32$ che ammette un automorfismo di ordine $5$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sul punto 1 chiamerei $N$ il Frattini di $G$ (qui $G$ è un gruppo di ordine $16$), prenderei un automorfismo $f$ di $G$ di ordine $5$ e considererei gli automorfismi indotti di $N$ (per restrizione, cioè quello che manda $n$ in $f(n)$) e di $G//N$ (quello che manda $gN$ in $f(g)N$), ricordando che $G//N$ è un gruppo abeliano elementare di ordine $2^d$ dove $d$ è la minor cardinalità di un insieme generatore di $G$.

Per il punto 2 cercherei di costruire un gruppo $G$ di ordine $32$ il cui Frattini $N$ ha ordine $2$ cosicché $G//N$ è isomorfo a $C_2^4$ e si dovrebbe riuscire a trovare un automorfismo di ordine $5$. Partirei dall'automorfismo di Frobenius di un campo con $32=2^5$ elementi (sia $F$ un campo con $32$ elementi e sia $f:F to F$ definito da $f(x)=x^2$, allora $f$ ha ordine $5$ come automorfismo del gruppo additivo $F$).

Poi non ho capito se ci proponi questi problemi come esercizio o se sono dubbi.

[spugna2]

Li propongo come esercizi (per questo scrivo EX nel titolo), un po' perché penso che possano essere istruttivi e un po' perché sono curioso di vedere se ci sono soluzioni migliori di quelle che trovo io

Avevo provato anch'io a considerare il sottogruppo di Frattini, ma mi ero bloccato... comunque mi aspetto che sia un buon approccio anche questo.